2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 норма функции
Сообщение22.12.2015, 15:50 


07/10/15

2400
Помогите пожалуйста разобраться
ошибка конечноэлементной аппроксимации решения уравнения Пуассона, в случае линейных базисных функций определяется как
$\left\lVert\varphi - \tilde{\varphi }\right\rVert_0\leqslant C\cdot h^2\left\lVert \varphi\right\rVert_2$, где $\varphi$ - истинное значение потенциала, $\tilde{\varphi}$ - его аппроксимация, $C$ - некоторая постоянная, $ h $ - шаг расчётной сетки.
насколько я понимаю $\left\lVert\varphi - \tilde{\varphi }\right\rVert_0=max\left\lvert \varphi - \tilde{\varphi } \right\rvert$
$\left\lVert \varphi\right\rVert_2=max\left\lvert \varphi \right\rvert + max\left\lvert grad(\varphi) \right\rvert + max\left\lvert div(grad(\varphi)) \right\rvert $

получается что при вычислении второй нормы складываются величины разных размерностей ($V, V/m, V/m^2$), поэтому величина второго и третьего слагаемых нормы будут зависить от выбора размерности независимых переменных (x,y,z), следовательно и величина ошибки будет зависеть от выбора единиц измерения незпвисимых переменных, чего быть очевидно не должно
объясните пожалуйста в чём тут дело? правильно ли я вычисляю нормы функций?

 Профиль  
                  
 
 Re: норма функции
Сообщение23.12.2015, 22:29 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Andrey_Kireew в сообщении #1084735 писал(а):
следовательно и величина ошибки будет зависеть от выбора единиц измерения незпвисимых переменных, чего быть очевидно не должно

Следовательно, и литр молока (или какой другой жидкости) неизвестно сколько весит: то ли 1 без малого, то ли 1000 аналогично, то ли ещё чего... Ведь единицы-то -- разные!

С чего Вы взяли, что та Цэ должна быть безразмерной?...

 Профиль  
                  
 
 Re: норма функции
Сообщение23.12.2015, 23:37 


07/10/15

2400
ewert в сообщении #1085217 писал(а):
Следовательно, и литр молока (или какой другой жидкости) неизвестно сколько весит: то ли 1 без малого, то ли 1000 аналогично, то ли ещё чего... Ведь единицы-то -- разные!

С чего Вы взяли, что та Цэ должна быть безразмерной?...


Вы не поняли вопроса
я не говорю что она должна быть безразмерной, напротив считаю что размерность должна быть, так как потенциал измеряется в вольтах, напряженность в В/м, вторая производная пропорциональна плотности заряда, т.е. это всё реальные физические величины

мой вопрос в том как можно их просто так складывать? такая операция не имеет содержательного смысла

на примере всё того же молока: 100 мл молока, 500 мл воды, 200 гр. крупы (рецепт каши)
единицы измерения можно измерить: 0,1л молока, 0,5кг воды, 0,2 кг крупы - суть от этого не моняется, так как существует взаимно однозначное соответствие единиц измерения
в любом случае мы можем найти общий вес этой каши - 800 грам, или 0,8кг

но между единицами измерения потенциала, напряженности и дивергенции нет такого соответствия, это величины разной природы. в чём будет измерятмя результат?
в вольтах? в вольтах на метр? по моему это абсурд

 Профиль  
                  
 
 Re: норма функции
Сообщение23.12.2015, 23:49 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Andrey_Kireew в сообщении #1085247 писал(а):
Вы не поняли вопроса

Вы не поняли ответа.

Те Це -- подстраиваются своими размерностями под любые выражения. Це -- она на то и Це, что конкретное значение её нам не важно. Соответственно, какой размерности ей понадобится быть -- такой и будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: норма функции
Сообщение24.12.2015, 00:13 


07/10/15

2400
ewert в сообщении #1085249 писал(а):

Те Це -- подстраиваются своими размерностями под любые выражения. Це -- она на то и Це, что конкретное значение её нам не важно. Соответственно, какой размерности ей понадобится быть -- такой и будет.


согласен что для одного слагаемого Це решает проблемму, но там же их три и у всех разная размерность, из за этого меняется сама пропорция, т.е. в одних единицах доминирующее влияние на ошибку будет оказывать заряд, в других единицах - напряженность, а в третих - сам потенциал, и всё это для одной и той же задачи

если бы было три разных Це - то всё встало бы на свои места, но там Це одно, а в определении нормы вообще нет никаких коэффициентов

 Профиль  
                  
 
 Re: норма функции
Сообщение24.12.2015, 00:31 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Andrey_Kireew в сообщении #1085257 писал(а):
но там же их три


У Вас там она была ровно одна; но не в этом дело.

Andrey_Kireew в сообщении #1085257 писал(а):
т.е. в одних единицах доминирующее влияние на ошибку будет оказывать заряд, в других единицах - напряженность, а в третих - сам потенциал, и всё это

Вы путаете общую математическую модель задачи (которой физика вообще до лампочки) с физическим приложением этой математической модели.

Математика интересуется лишь сугубо математическими свойствами алгоритмов решения той задачи, которую ей посунули физики.

В данном конкретном случае: она интересуется, с какой скоростью будут сходиться приближённые решения (а они заведомо не более чем приближённые).

Физики же обязаны а) принять к сведению этот общий анализ, т.е. прикинуть, через сколько итераций будет достигнут хоть сколько-то приемлемый (математически) результат и б) ну перевести в свои единицы измерений, ессно.

Но -- не более того.

 Профиль  
                  
 
 Re: норма функции
Сообщение24.12.2015, 01:42 


07/10/15

2400
математика, так же как и физика, это строгая наука, базирующаяся на законах логики
даже если математиков и не интересует специфика конткретных задач, это вовсе не означает, что она допускает рассмотрение задачь с явными физическими противоречиями, так как противоречие - это первый признак заблуждения
так и здесь с размерностями имеется явное противоречие и то, что "...размерность тут не важна для математиков, им главное скорость сходимости" - это не объяснение, а уход от него

мне самому в конечном счёте важна скорость сходимости, но по обозначенным выше причинам её оценить невозможно, так как для разных единиц измерения координат она будет совершенно разной

понятно, что в этих формулах нет ошибки, а просто я их немогу правильно интерпретировать и применить, вообще для меня всё это очень сложно, поэтому и прошу совета у специалистов

к сожалению пока ответа на свой вопрос я не получил и он остаётся открытым

 Профиль  
                  
 
 Re: норма функции
Сообщение24.12.2015, 10:10 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Andrey_Kireew в сообщении #1085287 писал(а):
по обозначенным выше причинам её оценить невозможно, так как для разных единиц измерения координат она будет совершенно разной

Её вовсе не по этим причинам оценить "невозможно", а по гораздо более принципиальным: численное значение этой константы практически никогда не доступно, независимо от единиц измерения. Практическую ценность представляет лишь квадрат шага, и это уже очень много. Гуглите на "правило Рунге".

 Профиль  
                  
 
 Re: норма функции
Сообщение24.12.2015, 12:27 


07/10/15

2400
Меня интересуют именно априорные оценки, так что правило Рунге и другие способы апостериорного оценивания,
но вообще вы правильно поняли, я хочу всёже хотябы ориентировочно определить эту константу, думаю что для конкретной задачи (заданная расчётная область, заданная сетка, диапазоны изменения параметров среды) её определить всёже возможно

я тут разобрался, что в функциональных пространствах Dn удобно оценивать близость функций вместе с их производными, в принципе имеет место таже самая проблемма, но тут ладно, при сближении функций расстояние между ними в этой норме стремится к нулю независимо от размерностей производных и это я ещё могу понять,

но в вырашении для ошибки (см. моё первое сообщение) функции вообще сравниваются в разных нормах, слева в пространствн $C$, справа в пространстве $D_2$, и к нулю там эти нормы не стремятся,
причём в разных источниках в конце концов приводится именно эта формула,
кстати в пространстве $D_1$, т.е. вместе с производной сходимость уже не квадратичная а линейная, хотя норма справа в выражении для ошибки остаётся такой же

как это вообще понимать? потенциал ведь сходится с квадратом шага, значит ли это, что линейной сходимость становится только из за производной?
но тогда ведь понятнее было бы написать
$\left\lVert grad(\varphi)\right\rVert_0\leqslant C \cdot h\left\lVert div(grad(\varphi))\right\rVert_0$
это тоже самое что и
$\left\lVert \varphi\right\rVert_1\leqslant C \cdot h\left\lVert\varphi\right\rVert_2$
или нет?
вообще в одномерном случае я втречал что ошибки выражаются через нормы производных, но в многомерном случае всегда появляются нормы самой функции
в этом смысл какой то заложен или просто для общности так делается?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group