Очередное доказательство по теме алгебраических групп

[timber]

Я уже говорил, что у меня туго идут доказательства -- http://dxdy.ru/post1082865.html#p1082865.

Вот опять застрял.

Определение. Пусть $a$ — элемент некоторой группы $G$. Наименьшее натуральное число $n$ такое, что $a^n = e$, называют порядком элемента $a$.

Задача. Пусть элемент $a$ имеет порядок $n$. Доказать, что элементы: $e, a, a^2, . . . , a^{n-1}$ все различны.

Все дело в том, что идеи какие-то есть, но не понятно правильные или ошибочные. Со своей стороны кажется, что вроде бы все хорошо. И это, наверное, естественно. Но тут же понимаю, что чего-то не хватает, может быть доказательной строгости или чего-то еще.

Например, есть такая идея доказательства этой задачи. Пусть $n=1$, то в группе $e=a^{0}$ и $$a = e$. Пусть $n=2$, то в группе есть элементы $e = a^2, a$ и причем $e \ne a$, иначе бы элемент $a$ имел порядок $n=1$. Пусть $n=3$, тогда $e \ne a$ и $e \ne a^2$ по условию и можно показать, что $a \ne a^2$, так как $a = a^2 = aa= ea$, но $e \ne a$. И так далее по индукции для любых указанных элементов $a^2, . . . , a^{n-1}$ получаем аналогичное противоречие, так как любой такой элемент всегда можно представить в виде некоторых сомножителей $a$, например, если мы допускаем, что $a^3 = a^2$, тогда должно выполняться $aa^2 = a^2$, откуда получаем $a = e$ и противоречие.

Помогите, пожалуйста: во-первых разобраться с доказательством и во-вторых, что наверное, наиболее важно, улучшить навыки доказательства, если это конечно необходимо для математического совершенствования? Хочется доказывать красиво и легко!

И в-третьих. Хотелось бы еще понять, насколько необходимы такого рода доказательства для проникновения в определенную математическую тему. Может быть такие задачи совершенно бесполезны, как в данный момент, чтобы усвоить алгебраические группы, так и в будущем для решения математических проблем и математических исследований вообще. Если да, то что наиболее подходящее?

Следует учесть, что я занимаюсь самообразованием и времени не "вагон с тележкой". Приходится выкраивать время из обычного распорядка дня и заниматься математикой до 2-3 час. ночи, а если еще и сидеть над такими доказательствами по несколько дней, мучаться, топтаться на дном месте, то это полный швах! Хотя в качестве умственной разминки интересно.

[alcoholist]

Давайте "в лоб":

timber в сообщении #1084609 писал(а):

Доказать, что элементы: $e, a, a^2, . . . , a^{n-1}$ все различны.

от противного: если $a^k=a^m$ при $0\le k,m<n$, то...

[timber]

alcoholist в сообщении #1084612 писал(а):

Давайте "в лоб":

timber в сообщении #1084609 писал(а):

Доказать, что элементы: $e, a, a^2, . . . , a^{n-1}$ все различны.

от противного: если $a^k=a^m$ при $0\le k,m<n$, то...

$k=m$

[Anton_Peplov]

alcoholist в сообщении #1084612 писал(а):

от противного: если $a^k=a^m$ при $0\le k,m<n$, то...

timber в сообщении #1084616 писал(а):

$k=m$

То, что $k=m$, и нужно доказать. А в доказательстве от противного Вы обязаны предположить, что $k \ne m$, и придти к противоречию.
Пусть $k < m$ и $a^k = a^m$. Чему тогда равно $a^{m-k}$? Учтите, это почти полное решение.

[timber]

Anton_Peplov в сообщении #1084617 писал(а):

То, что $k=m$, и нужно доказать. А в доказательстве от противного Вы обязаны предположить, что $k \ne m$, и придти к противоречию.
Пусть $k < m$ и $a^k = a^m$. Чему тогда равно $a^{m-k}$? Учтите, это почти полное решение.

$a^{m-k} = e$. Так об этом я и писал в своем доказательстве, что если предположить, что элементы равны, то всегда получается противоречие $a = e$.

[2old]

(Оффтоп)

Похоже на теорему:
Пусть $U$ конечное множество, $f:U\to U$. Тогда инъективности $f$ эквивалента сюръективности $f$. Идея доказательства такая же вроде

[Anton_Peplov]

Из того, что $a^{m-k}=e$, еще не следует $a = e$. Зато с учетом условия $0<m, k<n$ следует противоречие с определением $n$.

[timber]

Спасибо. Теперь стало понятно.

В своей корявой идее доказательства я пытался показать, что если предположить $a^k = a^m$ и $k<m$, то $a^k = a^ka^{m-k}$ (то есть мы всегда можем представить любое $a$ в виде произведения таких сомножителей) и следовательно $a^{m-k} = e$, исходя из свойства существования единичного элемента группы ($ae = a$). Следовательно противоречие: $a^{m-k} = e$, так как $0<m-k<n$.

Думаю, что моя проблема в том, что у меня не получилось выразить идею в каких-то общих элементах: $m, k$.

[popolznev]

(Оффтоп)

alcoholist в сообщении #1084612 писал(а):

Давайте "в лоб":

timber в сообщении #1084609 писал(а):

Доказать, что элементы: $e, a, a^2, . . . , a^{n-1}$ все различны.

от противного: если $a^k=a^m$ при $0\le k,m<n$, то...

А это не от противного ;)

[arseniiv]

timber в сообщении #1084663 писал(а):

В своей корявой идее доказательства я пытался показать, что если предположить $a^k = a^m$ и $k<m$, то $a^k = a^ka^{m-k}$ (то есть мы всегда можем представить любое $a$ в виде произведения таких сомножителей) и следовательно $a^{m-k} = e$, исходя из свойства существования единичного элемента группы ($ae = a$)

Не только из него, а ещё из «закона сокращения» $ab = ac \Rightarrow b = c$, в выводе которого применяется существование обратного элемента: $ab = ac \Rightarrow a^{-1}ab = a^{-1}ac \Rightarrow eb = ec \Rightarrow \ldots$. А в произвольном моноиде — ассоциативной алгебре с единицей — закон сокращения выполняться не обязан. Проиллюстрировать можно моноидом всех функций $A\to A$ (вы ведь уже рассматривали группу всех биекций $A\to A$), взяв $a$ константной функцией, возвращающей для каждого аргумента одно и то же. Тогда для вообще любых $b, c$ композиции $a\circ b$ и $a\circ c$ равны (и равны $a$). У $a$ как раз нет обратного.

[timber]

Спасибо. С конкретным доказательством понятно.

Если не затруднит, уважаемые профессионалы в области математики, хотелось бы еще услышать ваши подробные ответы и обсудить другие вопросы моей темы.

[Slav-27]

timber
1. Алгебраические группы - это не тоже самое, что просто группы, а вещь особая.
2. Повторю вслед за arseniiv: любой элемент группы сократим.

arseniiv в сообщении #1084677 писал(а):

$ab = ac \Rightarrow b = c$

(И справа тоже можно.)

[Anton_Peplov]

timber в сообщении #1084609 писал(а):

Помогите, пожалуйста: во-первых разобраться с доказательством и во-вторых, что наверное, наиболее важно, улучшить навыки доказательства, если это конечно необходимо для математического совершенствования? Хочется доказывать красиво и легко!

И в-третьих. Хотелось бы еще понять, насколько необходимы такого рода доказательства для проникновения в определенную математическую тему. Может быть такие задачи совершенно бесполезны, как в данный момент, чтобы усвоить алгебраические группы, так и в будущем для решения математических проблем и математических исследований вообще. Если да, то что наиболее подходящее?

Я не математик по образованию, тем более - не профессиональный математик, а такой же самоучка, как и Вы. Вот Вам взгляд равного:
1. Да, навыки математического доказательства Вам явно нужно улучшать. Причем, боюсь, начинать нужно с упражнений на логическое мышление, потому что кое-где Вы, похоже, допускаете сбои. Вот, например, задача о четырех картах:

Цитата:

Перед вами на столе лежат четыре карты, каждая из которых имеет число с одной стороны и цветную рубашку с другой. Карты лежат в следующем порядке: 3, 8, красная, коричневая. Сколько и каких карт надо перевернуть, чтобы проверить истинность следующего утверждения: если на карте изображено чётное число, то рубашка у карты красная?

Решите ли Вы ее правильно?
2. Да, чтобы изучать математику, уметь придумывать тривиальные доказательства совершенно необходимо. Вне зависимости от того, какой именно раздел математики Вы изучаете.

[Anton_Peplov]

P.S. Поскольку как минимум один пользователь понял задачу о четырех картах неправильно, поясняю: требуется проверить истинность утверждения, перевернув минимально необходимое для этого число карт.

[timber]

Anton_Peplov в сообщении #1084731 писал(а):

1. Да, навыки математического доказательства Вам явно нужно улучшать. Причем, боюсь, начинать нужно с упражнений на логическое мышление, потому что кое-где Вы, похоже, допускаете сбои. Вот, например, задача о четырех картах:
Цитата:
Перед вами на столе лежат четыре карты, каждая из которых имеет число с одной стороны и цветную рубашку с другой. Карты лежат в следующем порядке: 3, 8, красная, коричневая. Сколько и каких карт надо перевернуть, чтобы проверить истинность следующего утверждения: если на карте изображено чётное число, то рубашка у карты красная?

Решите ли Вы ее правильно?

Вы говорите про истинность утверждения в наборе ограниченном только четырьмя картами или набор карт сколько угодно большой? И могут ли встречаться случаи, когда у карт с одинаковой характеристикой четности чисел будут разного цвета рубашки? Если так и нет никакого подвоха, то нужно для проверки перевернуть все карты, и утверждение будет истиной только в том случае, если убедимся: 3 -- не красная, 8 -- красная, красная -- четное число, коричневая -- нечетное.