2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Независимость и невыводимость
Сообщение20.12.2015, 19:38 


08/12/15
62
Аксиомы Пеано:
1 $0 \in \mathbb{N}$
2 $x \in \mathbb{N} \rightarrow Sx \in \mathbb{N}$
3 $x \in \mathbb{N} \rightarrow Sx \neq 0$
4 $x \in \mathbb{N} \land y \in \mathbb{N} \land Sx = Sy \rightarrow x=y$
5 $0 \in M \land \forall x (x \in M \rightarrow Sx \in M) \rightarrow N \subseteq M$
Я пытаюсь доказать независимость первой аксиомы от остальных. Для этого можно в качестве $\mathbb{N}$ взять пустое множество (можно я его буду называть моделью?) Для пустого множества выполняются все аксиомы кроме первой, следовательно, если первая аксиома доказывается (как теорема) с помощью четырех остальных, то для данной модели мы получили бы противоречие с теорией множеств. Таким образом вопрос независимости сводится к вопросу непротиворечивости теории множеств + аксиомы Пеано 2-5. Правильно ли я рассуждаю? И как мне закончить решение?
Другой вопрос о том, как показать невыводимость первой аксиомы из остальных и влечет ли она независимость? Или может наоборот из независимости следует невыводимость?

 Профиль  
                  
 
 Re: Независимость и невыводимость
Сообщение20.12.2015, 21:35 
Заслуженный участник


08/04/08
8505
Вам надо просто прочитать определение независимости аксиомы от остальных и привести 2 таких модели, в каждой из которых выполняются остальные аксиомы, но 1-я аксиома выполняется только в одной модели и не выполняется в другой. Из этого следует независимость по определению, она же невыводимость аксиомы и невыводимость ее отрицания.
Одну модель Вы уже придумали, осталось придумать вторую.
Метатеорию и используемую для рассуждения теорию считайте непротиворечивыми по умолчанию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Независимость и невыводимость
Сообщение20.12.2015, 23:58 


08/12/15
62
Sonic86 в сообщении #1084110 писал(а):
Одну модель Вы уже придумали, осталось придумать вторую.

Придумать вторую в той же самой метатеории? Или это не обязательно?
Ну вот есть готовая теоретико-множественная модель, где $\mathbb{N}$ определяется как объединение всех множеств, содержащих пустое, и замкнутое относительно операции $S$. Операция $S$ определяется рекуррентным способом:
$0=\varnothing $
$1=S(0)=\{0\}$
$2=S(1)=\{0,1\}$
...
Первая аксиома выполняется в силу существования пустого множества. Вторая - в силу замкнутости операции. Третья - из определения операции $S$ и так далее...
Sonic86 в сообщении #1084110 писал(а):
Из этого следует независимость по определению, она же невыводимость аксиомы и невыводимость ее отрицания.

Объясните как все это взаимосвязано. Как из независимости получается невыводимость?

 Профиль  
                  
 
 Re: Независимость и невыводимость
Сообщение21.12.2015, 08:26 


08/12/15
62
Нет, что-то у меня здесь не то написано.
Цитата:
The set $\mathbb{N}$ of natural numbers is defined as the smallest set containing $0$ and closed under the successor function $S$ defined by $S(n) = n \cup \{n\}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Независимость и невыводимость
Сообщение21.12.2015, 08:58 
Заслуженный участник


08/04/08
8505
Unx в сообщении #1084196 писал(а):
Ну вот есть готовая теоретико-множественная модель, где $\mathbb{N}$ определяется как объединение всех множеств, содержащих пустое, и замкнутое относительно операции $S$. Операция $S$ определяется рекуррентным способом:
$0=\varnothing $
$1=S(0)=\{0\}$
$2=S(1)=\{0,1\}$
...
Первая аксиома выполняется в силу существования пустого множества. Вторая - в силу замкнутости операции. Третья - из определения операции $S$ и так далее...

Ну вот и все: это и есть 2-я модель.

Unx в сообщении #1084196 писал(а):
Объясните как все это взаимосвязано. Как из независимости получается невыводимость?
Потому что из истинных посылок нельзя вывести то, что в некоторых случаях (в некоторых моделях) является ложным.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group