Проверьте, пожалуйста, мои выкладки. Не могу понять где ошибка.
У меня есть целевой интеграл, который я хочу посчитать:
![$$\[I\left( y,a,b \right)=\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\exp \left( -{{a}^{2}}{{x}^{2}} \right)\operatorname{sinc}\left( {{b}^{2}}{{\left( x-y \right)}^{2}} \right)dx}\]$$ $$\[I\left( y,a,b \right)=\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\exp \left( -{{a}^{2}}{{x}^{2}} \right)\operatorname{sinc}\left( {{b}^{2}}{{\left( x-y \right)}^{2}} \right)dx}\]$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/b/edb8d8710cdb48b9d88dc50a0a81d9f882.png)
Я преобразую его следующим образом:
![$$\[{{b}^{2}}I\left( y,a,b \right)=\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\frac{\exp \left( -{{a}^{2}}{{x}^{2}} \right)\sin \left( {{b}^{2}}{{\left( x-y \right)}^{2}} \right)}{{{\left( x-y \right)}^{2}}}dx}\]$$ $$\[{{b}^{2}}I\left( y,a,b \right)=\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\frac{\exp \left( -{{a}^{2}}{{x}^{2}} \right)\sin \left( {{b}^{2}}{{\left( x-y \right)}^{2}} \right)}{{{\left( x-y \right)}^{2}}}dx}\]$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/f/51f2e802fc26c405bebb9e26c32f69d982.png)
Затем дифференцирую по параметру

:
![$$\[\frac{\partial }{\partial b}\left( {{b}^{2}}I\left( y,a,b \right) \right)=2b\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\exp \left( -{{a}^{2}}{{x}^{2}} \right)\cos \left( {{b}^{2}}{{\left( x-y \right)}^{2}} \right)dx}\]$$ $$\[\frac{\partial }{\partial b}\left( {{b}^{2}}I\left( y,a,b \right) \right)=2b\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\exp \left( -{{a}^{2}}{{x}^{2}} \right)\cos \left( {{b}^{2}}{{\left( x-y \right)}^{2}} \right)dx}\]$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/5/805ca8347a7244186bbb0cbbc25103ed82.png)
Интеграл справа у меня посчитан и проверен (это слегка модернизированная формула 3.923 из Рыжика и Градштейна, страница 499), его значение:
![$$\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\exp \left( -{{a}^{2}}{{x}^{2}} \right)\cos \left( {{b}^{2}}{{\left( x-y \right)}^{2}} \right)dx}=\frac{\sqrt{\pi }}{\sqrt[4]{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}}}\exp \left( -\frac{{{a}^{2}}{{b}^{4}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}} \right)\cos \left( \frac{1}{2} \arctg\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{a}^{4}}{{b}^{2}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}} \right)$$ $$\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\exp \left( -{{a}^{2}}{{x}^{2}} \right)\cos \left( {{b}^{2}}{{\left( x-y \right)}^{2}} \right)dx}=\frac{\sqrt{\pi }}{\sqrt[4]{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}}}\exp \left( -\frac{{{a}^{2}}{{b}^{4}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}} \right)\cos \left( \frac{1}{2} \arctg\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{a}^{4}}{{b}^{2}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}} \right)$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/1/3a1c6b64190e11f90cb39e55a2f06b0d82.png)
С учётом этого у меня получается следующее:
![$$\[\frac{\partial }{\partial b}\left( {{b}^{2}}I\left( y,a,b \right) \right)=\frac{2b\sqrt{\pi }}{\sqrt[4]{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}}}\exp \left( -\frac{{{a}^{2}}{{b}^{4}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}} \right)\cos \left( \frac{1}{2}\arctg\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{a}^{4}}{{b}^{2}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}} \right)\]$$ $$\[\frac{\partial }{\partial b}\left( {{b}^{2}}I\left( y,a,b \right) \right)=\frac{2b\sqrt{\pi }}{\sqrt[4]{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}}}\exp \left( -\frac{{{a}^{2}}{{b}^{4}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}} \right)\cos \left( \frac{1}{2}\arctg\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{a}^{4}}{{b}^{2}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}} \right)\]$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/5/3/153ab771830ef5478b572219bcfd535e82.png)
Теперь я интегрирую правую и левую часть по переменной

от

до

. Слева интеграл берётся сразу, нулевая подстановка даёт нуль, поэтому я получаю:
![$$\[I\left( y,a,b \right)=\frac{2\sqrt{\pi }}{{{b}^{2}}}\int\limits_{0}^{b}{\frac{\beta }{\sqrt[4]{{{a}^{4}}+{{\beta }^{4}}}}\exp \left( -\frac{{{a}^{2}}{{\beta }^{4}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{\beta }^{4}}} \right)\cos \left( \frac{1}{2}\arctg\frac{{{\beta }^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{a}^{4}}{{\beta }^{2}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{\beta }^{4}}} \right)d\beta }\]$$ $$\[I\left( y,a,b \right)=\frac{2\sqrt{\pi }}{{{b}^{2}}}\int\limits_{0}^{b}{\frac{\beta }{\sqrt[4]{{{a}^{4}}+{{\beta }^{4}}}}\exp \left( -\frac{{{a}^{2}}{{\beta }^{4}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{\beta }^{4}}} \right)\cos \left( \frac{1}{2}\arctg\frac{{{\beta }^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{a}^{4}}{{\beta }^{2}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{\beta }^{4}}} \right)d\beta }\]$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/8/cc8c4a093b3c5ef2d5fa6df2d945d6ba82.png)
Последний определённый интеграл с конечными пределами я тоже посчитал (хотя выражение получилось с комплексными числами, даёт оно чисто действительный результат):
![$$\[\begin{matrix}
I\left( y,a,b \right)=\frac{i\sqrt{\pi }}{{{b}^{2}}}\left( \sqrt{{{a}^{2}}-i{{b}^{2}}}\exp \left( \frac{i{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{y}^{2}}}{{{a}^{2}}-i{{b}^{2}}} \right)-\sqrt{{{a}^{2}}+i{{b}^{2}}}\exp \left( -\frac{i{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{y}^{2}}}{{{a}^{2}}+i{{b}^{2}}} \right) \right)+ \\
+\frac{\pi {{a}^{2}}y}{{{b}^{2}}}\exp \left( -{{a}^{2}}{{y}^{2}} \right)\left( \operatorname{erf}\left( \frac{i{{a}^{2}}y}{\sqrt{{{a}^{2}}-i{{b}^{2}}}} \right)-\operatorname{erf}\left( \frac{i{{a}^{2}}y}{\sqrt{{{a}^{2}}+i{{b}^{2}}}} \right) \right) \\
\end{matrix}\]$$ $$\[\begin{matrix}
I\left( y,a,b \right)=\frac{i\sqrt{\pi }}{{{b}^{2}}}\left( \sqrt{{{a}^{2}}-i{{b}^{2}}}\exp \left( \frac{i{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{y}^{2}}}{{{a}^{2}}-i{{b}^{2}}} \right)-\sqrt{{{a}^{2}}+i{{b}^{2}}}\exp \left( -\frac{i{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{y}^{2}}}{{{a}^{2}}+i{{b}^{2}}} \right) \right)+ \\
+\frac{\pi {{a}^{2}}y}{{{b}^{2}}}\exp \left( -{{a}^{2}}{{y}^{2}} \right)\left( \operatorname{erf}\left( \frac{i{{a}^{2}}y}{\sqrt{{{a}^{2}}-i{{b}^{2}}}} \right)-\operatorname{erf}\left( \frac{i{{a}^{2}}y}{\sqrt{{{a}^{2}}+i{{b}^{2}}}} \right) \right) \\
\end{matrix}\]$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/d/1ddc5032c57140f639896886b83b18a382.png)
Теперь я хочу эти вычисления проверить. Для этого я задаюсь какими-нибудь случайными значениями параметров

,

и

и рассчитываю следующие три величины:
![$$\[{{V}_{1}}=\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\exp \left( -{{a}^{2}}{{x}^{2}} \right)\operatorname{sinc}\left( {{b}^{2}}{{\left( x-y \right)}^{2}} \right)dx}\]$$ $$\[{{V}_{1}}=\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\exp \left( -{{a}^{2}}{{x}^{2}} \right)\operatorname{sinc}\left( {{b}^{2}}{{\left( x-y \right)}^{2}} \right)dx}\]$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/a/e6a76b63c46327d0dd9d34e24df6e8db82.png)
![$$\[{{V}_{2}}=\frac{2\sqrt{\pi }}{{{b}^{2}}}\int\limits_{0}^{b}{\frac{\beta }{\sqrt[4]{{{a}^{4}}+{{\beta }^{4}}}}\exp \left( -\frac{{{a}^{2}}{{\beta }^{4}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{\beta }^{4}}} \right)\cos \left( \frac{1}{2}\arctg\frac{{{\beta }^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{a}^{4}}{{\beta }^{2}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{\beta }^{4}}} \right)d\beta }\]$$ $$\[{{V}_{2}}=\frac{2\sqrt{\pi }}{{{b}^{2}}}\int\limits_{0}^{b}{\frac{\beta }{\sqrt[4]{{{a}^{4}}+{{\beta }^{4}}}}\exp \left( -\frac{{{a}^{2}}{{\beta }^{4}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{\beta }^{4}}} \right)\cos \left( \frac{1}{2}\arctg\frac{{{\beta }^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{a}^{4}}{{\beta }^{2}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{\beta }^{4}}} \right)d\beta }\]$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/e/edef2cc85709b488b32b125eb0a63aca82.png)
![$$\[\begin{matrix}
{{V}_{3}}=\frac{i\sqrt{\pi }}{{{b}^{2}}}\left( \sqrt{{{a}^{2}}-i{{b}^{2}}}\exp \left( \frac{i{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{y}^{2}}}{{{a}^{2}}-i{{b}^{2}}} \right)-\sqrt{{{a}^{2}}+i{{b}^{2}}}\exp \left( -\frac{i{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{y}^{2}}}{{{a}^{2}}+i{{b}^{2}}} \right) \right)+ \\
+\frac{\pi {{a}^{2}}y}{{{b}^{2}}}\exp \left( -{{a}^{2}}{{y}^{2}} \right)\left( \operatorname{erf}\left( \frac{i{{a}^{2}}y}{\sqrt{{{a}^{2}}-i{{b}^{2}}}} \right)-\operatorname{erf}\left( \frac{i{{a}^{2}}y}{\sqrt{{{a}^{2}}+i{{b}^{2}}}} \right) \right) \\
\end{matrix}\]$$ $$\[\begin{matrix}
{{V}_{3}}=\frac{i\sqrt{\pi }}{{{b}^{2}}}\left( \sqrt{{{a}^{2}}-i{{b}^{2}}}\exp \left( \frac{i{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{y}^{2}}}{{{a}^{2}}-i{{b}^{2}}} \right)-\sqrt{{{a}^{2}}+i{{b}^{2}}}\exp \left( -\frac{i{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{y}^{2}}}{{{a}^{2}}+i{{b}^{2}}} \right) \right)+ \\
+\frac{\pi {{a}^{2}}y}{{{b}^{2}}}\exp \left( -{{a}^{2}}{{y}^{2}} \right)\left( \operatorname{erf}\left( \frac{i{{a}^{2}}y}{\sqrt{{{a}^{2}}-i{{b}^{2}}}} \right)-\operatorname{erf}\left( \frac{i{{a}^{2}}y}{\sqrt{{{a}^{2}}+i{{b}^{2}}}} \right) \right) \\
\end{matrix}\]$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/e/5fe66dd1de5954a535da21194c3e724a82.png)
Первые две рассчитываю путём численного интегрирования, а третью — просто по формуле (правда пришлось найти реализацию для MATLAB функции ошибок комплексного аргумента). При этом я обнаруживаю, что вторая и третья величины совпадают вплоть до самых последних значащих цифр в формате числа (точность интегрирования поставил

), но совершенно не совпадают с первой величиной. Отсюда я делаю вывод, что где-то допустил ошибку. Однако, как бы я не старался её найти ничего подозрительного не вижу. Нарекания мог бы вызывать промежуточный интеграл от экспоненты и косинуса с бесконечными пределами, однако он удачно прошёл точно такую же численную валидацию, какую я применяю к первому и последнему выражениям.
Очень надеюсь на вашу помощь.