Задача про сильнейшее локально выпуклое пространство.

[sgasgar]

Помогите, пожалуйста, с задачей:
Докажите, что сильнейшее локально выпуклое пространство метризуемо тогда и только
тогда, когда оно конечномерно.

Я знаю, как доказывать, что ограниченными в сильнейшем ЛВП будут только конечномерные множества. Не знаю, поможет это тут или нет. Бьюсь уже несколько дней над ней.

[Nsk]

Сходу кажется, что идея примерно такая: в бесконечномерном пространстве "легко получить" несчётную базу окрестностей нуля (брать базиз гамеля и строить нужно число полунорм)