Привести квадратичную форму к диагональному виду.

[mr.tumkan2015]

У меня такой вопрос. Вот я знаю как ортогональным преобразованием приводить квадратичную форму к диагональному виду (то есть знаю алгоритм. Но мне не очевидно - почему так).

Почему матрица с собственными числами на диагонали есть матрица новой квадратичной формы после преобразования $x=Sy$, где $S$ -- матрица из нормированных собственных векторов?

[NSKuber]

Вот была матрица $A$ с (нормированными) собственными векторами $v_1,\ldots,v_n$ и соответствующими значениями $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$. Тогда $S=(v_1,\ldots,v_n)$.
После замены координат новая матрица есть $S^{T}AS$. При умножении $A$ на $S$ мы по сути умножаем $A$ на каждый столбец матрицы $S$, и результат этого умножения будет столбцом матрицы $AS$, то есть $AS=(\lambda_1 v_1,\ldots,\lambda_n v_n)$. Далее мы умножаем на $S^{T}$ слева. Чтобы понять, почему получится диагональная матрица, воспользуйтесь свойствами собственных векторов симметричной матрицы.

[mr.tumkan2015]

NSKuber в сообщении #1082998 писал(а):

Вот была матрица $A$ с (нормированными) собственными векторами $v_1,\ldots,v_n$ и соответствующими значениями $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$. Тогда $S=(v_1,\ldots,v_n)$.
После замены координат новая матрица есть $S^{T}AS$. При умножении $A$ на $S$ мы по сути умножаем $A$ на каждый столбец матрицы $S$, и результат этого умножения будет столбцом матрицы $AS$, то есть $AS=(\lambda_1 v_1,\ldots,\lambda_n v_n)$. Далее мы умножаем на $S^{T}$ слева. Чтобы понять, почему получится диагональная матрица, воспользуйтесь свойствами собственных векторов симметричной матрицы.

Спасибо, я понял. Пользоваться нужно ортогональностью собственных векторов, то есть тем, что $v_i\cdot v_j=0$ при $i\ne j$, при $i=j$ будет $v_i\cdot v_j=1$. Только вот интересно -- это только у симметричной матрицы собственные вектора ортогональны или симметричность -- не есть обязательное условие?

[bot]

mr.tumkan2015 в сообщении #1083057 писал(а):

то только у симметричной матрицы собственные вектора ортогональны или симметричность

И это неверно. У симметрической матрицы собственные векторы, принадлежащие разным собственным значениям, ортогональны.
У несимметричной матрицы собственные векторы с разными собственными значениями могут оказаться ортогональными, но не обязаны.

[NSKuber]

Но если у $n\times n$ матрицы есть $n$ собственных векторов, и все они попарно ортогональны, то матрица симметрична. Доказать можно теми же рассуждениями, что были приведены по исходному вопросу, сделав ещё один маленький шажок.

[mr.tumkan2015]

Спасибо. А если у нас есть матрица $3\times 3$, у которой характерестическое уравнение имеет лишь один вещественный корень, например оно получилось такое $(\lambda^2+1)(\lambda-1)$, то как тогда быть с собственными векторами и как приводить к диагональному виду?

[bot]

В вещественном случае такое возможно только в случае несимметричной матрицы.
В общем случае любая квадратная матрица над полем комплексных чисел приводится к жордановой форме. Только приведение там другое (называемое подобием): $M=T^{-1}JT.$ Симметрия и вещественность обеспечивает возможность выбора ортогональной матрицы $T$.

-- Пт дек 18, 2015 15:52:25 --

Ваша матрица будет подобна диагональной c числами $1, i, -i$ на диагонали.