2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Оцените доказательство (нильпотентная матрица)
Сообщение16.12.2015, 20:41 


03/07/15
200
Здравствуйте.
Решил одну задачку, но как-то громоздко и вообще не до конца уверен что правильно. Подскажите не накосячил ли где и нет ли более изящного решения.
Задача
Пусть $A = \begin{bmatrix}
    a & b \\
    c &  d
\end{bmatrix}
$
Доказать что если $A^m = 0$, то $A^2=0$

Доказательство
Докажем сначала следующую лемму:
Лемма 1.
Матрица $A$ имеет обратную тогда и только тогда когда $ ad-bc\ne 0 $

Доказательство.
Пусть $AX = E$. Решая указанную систему уравнений находим X:
$X = A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$.
Следовательно:
1) $ad-bc=0\Rightarrow A^{-1}$ не определена
2) $A^{-1}$ не определена $\Rightarrow ad-bc=0 $ (вот за этот вывод как-раз не уверен, законен ли он?)

Тепер докажем еще одну лемму:
Лемма 2.
Если $A^m = 0$, то $\operatorname{rank}A<2$
Доказательство.
Используем ранее доказанный следующий факт: для квадратных матриц A, B порядка n имеет место неравенство $\operatorname{rank}A+\operatorname{rank}B-n\leqslant$\operatorname{rank}AB. Исходя из этого неравенства $\operatorname{rank}A^{m-1}+\operatorname{rank}A\leqslant 2$. Предположим что \operatorname{rank}A=2. Тогда \operatorname{rank}A^{m-1}=0. Повторяя рассуждение придем к тому что \operatorname{rank}A=0. Противоречие.

Теперь перейдем к доказательству исходной задачи.
С учетом леммы 2 ранг матрицы A менее 2. Т.к. матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда она невырожденна, матрица A не имеет обратной. Откуда, с учетом леммы 1, для матрицы A имеет место $ ad-bc = 0 $.

Возведя матрицу A в квадрат и используя тот факт что $ad=bc$, получим следующее выражение:
$A^2 = (a+d)\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$
Откуда:
$A^{m} = (a+d)^{m-1}\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$

Откуда, если $A^{m}=0$, то либо $A=0$, либо $a+d=0$. В обоих случаях $A^2=0$. Ч.т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оцените доказательство
Сообщение16.12.2015, 21:26 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Если квадратная $A$ имеет обратную, то $A = A^{-1}AA = \ldots = (A^{-1})^{m-1}A^m = 0$, так что $A$ иметь обратной не может.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оцените доказательство
Сообщение16.12.2015, 21:44 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Если $A^m = 0$, то минимальный многочлен $f_A(x)$ делит $x^m$ и имеет степень не выше $2$. Следовательно, $f_A(x) = x$ или $f_A(x) = x^2$. В любом случае $f_A(x)$ делит $x^2$, а значит $A^2 = 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оцените доказательство
Сообщение16.12.2015, 22:51 


23/11/09
173
student1138 в сообщении #1082759 писал(а):
2) $A^{-1}$ не определена $\Rightarrow ad-bc=0 $ (вот за этот вывод как-раз не уверен, законен ли он?)

Пусть вывод не законен. То есть обратная матрица не определена и $ad-bc\not =0$. Тогда выполняется $ \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
Следовательно матрицы $ \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ и $ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ являются обратными друг к другу по определению обратной матрицы. Мы получили противоречие. Следовательно вывод законен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оцените доказательство
Сообщение16.12.2015, 23:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
student1138 в сообщении #1082759 писал(а):
Теперь перейдем к доказательству исходной задачи.
С учетом леммы 2 ранг матрицы A менее 2. Т.к. матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда она невырожденна, матрица A не имеет обратной. Откуда, с учетом леммы 1, для матрицы A имеет место $ ad-bc = 0 $.
Тут обратные матрицы совершенно не обязательны, достаточно определения ранга.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оцените доказательство
Сообщение17.12.2015, 03:10 
Заслуженный участник


12/09/10
1538
$0=|A^m|=|A|^m \Rightarrow |A|=0 $

 Профиль  
                  
 
 Re: Оцените доказательство
Сообщение17.12.2015, 09:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
7870
Москва
Если матрица в m-той степени равна нулю, значит, все её собственные значения равны нулю. Если исходная матрица A не нулевая, значит, она подобна матрице
$J = \begin{bmatrix}
   0 & h \\
   0 &  0
\end{bmatrix}
$
Тогда её квадрат - нулевой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оцените доказательство
Сообщение17.12.2015, 10:40 


13/08/14
349
student1138 в сообщении #1082759 писал(а):
Возведя матрицу A в квадрат и используя тот факт что $ad=bc$, получим

Ваше доказательство мне понравилось. Вы долго возились с предварительной частью. Ее лучше взять у Cash.

Уважаемый Евгений Машеров

$$\begin{bmatrix}
 &1  &1 \\
 &-1  &-1 
\end{bmatrix}^2=0$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Оцените доказательство
Сообщение17.12.2015, 10:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4984
Нов-ск
student1138 в сообщении #1082759 писал(а):
Нет ли более изящного решения?

Почти сразу следует из того, что каждая матрица является корнем своего характеристического многочлена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оцените доказательство
Сообщение17.12.2015, 21:01 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Evgenjy в сообщении #1082913 писал(а):
$$\begin{bmatrix}
&1  &1 \\
&-1  &-1 
\end{bmatrix}^2=0$$
Подобна. Поверните на $\pi/4$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оцените доказательство
Сообщение18.12.2015, 22:11 
Заслуженный участник


14/10/14
981
Вот ещё доказательство. Я пишу его из-за того, что оно элементарно и используется при построении спектральной теории линейных операторов конечномерных эрмитовых пространств.

Матрица $A$ задаёт линейный оператор в $\mathbb{R}^2$.

Нарисуем базисные векторы (столбцы!), допишем к ним снизу образы, к образам (тоже снизу) - образы образов, и так далее, пока не занулятся (т. к. $A^m=0$, то это случится не позже чем на $m$-м шаге). Получится 2 башни. Уроним их "на землю" - получится за́мок.

Вот 2 свойства замка:
1) Если подействовать оператором $A$ на какой-нибудь этаж, кроме 1-го (нижнего), то получится этаж, который этажом ниже (кроме случая, когда одна башня выше другой и этажом ниже начинается низкая башня - тогда получится только пол-этажа).
2) А если подействовать на 1-й этаж, то получится 2 нулевых вектора.

Очевидно, что линейная независимость всех векторов замка равносильна линейной независимости векторов 1-го этажа.

Поэтому пока в замке более 2 векторов, можно линейными преобразованиями башен занулять левый или правый вектор 1-го этажа и выбрасывать его (так что верхушка башни падает вниз), - сохраняя 2 свойства замка.

Так продолжать до тех пор, пока не останется всего 2 вектора (любые 3 вектора размерности 2 линейно зависимы). Оставшиеся 2 линейно независимы, следственно любой вектор линейно выражается через них. Как эти 2 вектора расположены? - либо в одну башню в 2 вектора высотой, либо в 2 башни высотой в 1 вектор. В любом случае под действием $A^2$ оба переходят в ноль - следственно любой вектор переходит в ноль.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group