Максимальное слабое условие на сходимость

[ProPupil]

Что ж, я думаю, следующая задача без сомнения заинтересует математическое сообщество этого форума. Утверждение этой задачи было доказано 89 лет назад, в 1936 году.
Однако я точно знаю, что на русском языке доказательство нигде не приводилось, поэтому этот факт может кого-нибудь удивить.

Интерполяционным многочленом Бернштейна для функции $f:[0,1] \to \mathbb R$ называется многочлен $B_n(x) = \sum\limits_{k=0}^n C_n^k x^k (1-x)^{n-k} f\left(\frac{k}{n}\right)$.

Задача
Пусть функция $f(x)$ ограничена на отрезке $[0,1]$ и в точке $x_0$ имеет $k$-ую производную. Докажите, что $\lim\limits_{n\to\infty} B_n^{(k)}(x_0) = f^{(k)}(x_0)$

Интерес эта задача представляет тем, что от функции не требуется ничего, кроме ограниченности и дифференцируемости в одной-единственной точке. И это утверждение верно! Производная понимается в классическом смысле (в точке же)

[Dmitry Tkachenko]

ProPupil, спасибо, интересный факт. Кажется, я умею доказывать для $k=1.$ Также, если $f \in \mathcal{C}^1 \big([0,1]\big),$ то будет равномерная сходимость. Кстати, я не думаю, что для произвольного $k$ что-то сильно изменится. Но доказательство получилось довольно длинное и скушное, в плане техники. Мне лень его выкладывать, напишу основные шаги.

(1) Для $k=1$ (далее, $k$ просто индекс суммирования):

1) $B'_n(x) = n\sum\limits_{k=0}^n C_n^k x^{k-1} (1-x)^{n-k-1} \left(\frac{k}{n}-x\right) \left( f\left(\frac{k}{n}\right)-f(x) \right).$

2) $\frac{f(k/n)-f(x)}{k/n-x}=f'(x)+\xi_k$ и $\forall \varepsilon>0 \quad \exists \delta>0, \left| \frac{k}{n}-x \right|<\delta \colon |\xi_k|<\frac{\varepsilon}{2}.$

3) $B'_n(x) = f'(x)+ n\sum\limits_{k=0}^n C_n^k x^{k-1} (1-x)^{n-k-1} \left(\frac{k}{n}-x\right)^2 \xi_k=f'(x)+n\left( S_1+S_2 \right).$

4) $\left|nS_1\right|= \left|n \sum\limits_{|k/n-x|<\delta} C_n^k x^{k-1} (1-x)^{n-k-1} \left(\frac{k}{n}-x\right)^2 \xi_k \right| < \frac{\varepsilon}{2}.$

5) Для $|k/n-x|\geqslant \delta$ сложнее: $|\xi_k|\leqslant \left|\frac{f(k/n)-f(x)}{k/n-x}\right|+\left|f'(x)\right| \leqslant \frac{2C}{\delta}+\left|f'(x)\right|.$ Далее, у меня получилось $\left|nS_2\right|= \left|n \sum\limits_{|k/n-x| \geqslant \delta} C_n^k x^{k-1} (1-x)^{n-k-1} \left(\frac{k}{n}-x\right)^2 \xi_k \right| \leqslant \frac{3}{\delta^2 n} \left( \frac{2C}{\delta}+\left|f'(x)\right| \right).$ Ясно, что $\left|nS_2\right| < \frac{\varepsilon}{2},$ начиная с некоторого $N.$

6) $\left|B'_n(x)-f'(x) \right| \leqslant \left| nS_1 \right|+\left|nS_2 \right|<\varepsilon.$


(2) Что касается равномерной сходимости для $f\in \mathcal{C}^1 \big([0,1]\big)$ :

1) $B'_{n+1}(x) = (n+1)\sum\limits_{k=0}^n C_n^k x^k (1-x)^{n-k} \left(f\left(\frac{k+1}{n+1}\right)-f\left(\frac{k}{n+1}\right)\right)$.

2) $f\left(\frac{k+1}{n+1}\right)-f\left(\frac{k}{n+1}\right)=\frac{f'(\xi_k)}{n+1}, \frac{k}{n+1}<\xi_k<\frac{k+1}{n+1}.$

3) $B'_{n+1}(x) = S_1+S_2,$ где $S_1=\sum\limits_{k=0}^n C_n^k x^k (1-x)^{n-k} \left(f'\left( \xi \right)-f'\left(\frac{k}{n}\right)\right)$ и $S_2=\sum\limits_{k=0}^n C_n^k x^k (1-x)^{n-k} f'\left(\frac{k}{n}\right).$

4) Для $S_1$ делаем $\left| \xi_k -\frac{k}{n} \right|<\delta$ и $\left| f'(\xi_k) -f'\left( \frac{k}{n} \right) \right|<\varepsilon$ и получаем равномерную сходимость $S_1 \to 0.$

5) Для $S_2=B_n(f', x)$ показаваем, что $B_n(f', x) \to f'(x)$ равномерно (идея как и в (1)).

6) Сходимости равномерные, значит, и $B'_n(x) \to f'(x)$ равномерно.