Расстояние между парами простых близнецов

[Ktina]

Назовём расстоянием между двумя парами простых близнецов модуль разности наибольших членов этих пар. Например, расстояние между парами $(17, 19)$ и $(29, 31)$ равно 12.

При каких натуральных $n$ расстояние между двумя парами простых близнецов может быть равно $2^n$?

[ИСН]

Ну, число между простыми-близнецами делится на 3, и разность таковых чисел - тоже. Кроме пары (3, 5). Вот какие разности она даст, такие и есть.

[ИСН]

Придти подумать об этом, там вариантов-то немного.
Чётные $n$ отпадают, патамушта второе число в большей паре ($2^n+5$) делится на 3.
$n=4k+1$ - у этих первое делится на 5.
$n=12k+3$ - второе на 13.
$n=12k+7$ - второе на 7.
$n=12k+11$ - первое на 7.
И не осталось никого, кроме исключительных случаев по малости. Из таковых реализуются: $n=1\text{ и }3$.

[Ktina]

ИСН
Спасибо!