Доказать асимптотическую формулу

[krupen]

Подскажите, пожалуйста с чего надо начинать решать данную задачу, не могу разобраться.

Докажите асимптотическую формулу представленную в задании. Получите первые три члена асимптотического разложения и асимптотическую оценку для остаточного члена.

Пусть $x = x($\lambda$)$ - первый положительный корень уравнения $\ln(x^2 + \lambda^2) = x$

Тогда $x(\lambda)\sim2\ln(\lambda)$ ; $(\lambda\to+\infty)$

[Sonic86]

Начало сделано уж точно правильно.
1-й член асимптотики Вы нашли правильно, остается только обосновать. Обоснование обычно делается в 2 шага:
1. Рекуррентная "раскрутка" уравнения - подставляете выражение для $x$ само в себя нужное количество раз.
2. Находите какое-нибудь слабое ограничение на $x$ (в данном случае очевидно, например, что $x=o(\lambda)$ при $\lambda\to\infty$, с помощью него получается 1-й член асимптотики) и с помощью него обрываете рекуррентность и получаете асимптотическое разложение
Подробный пример решения таким методом я видел в Грэхеме Кнуте Паташнике Конкретная математика в последней главе.
И здесь можно так же.

Вообще, если Вам надо найти несколько членов асимптотического разложения, а Вы умеете находить только первый, то подстановкой текущего асимптотического разложения и решением нового уравнения Вы можете найти следующие члены асимптотики.

Я знаю книжку де Брейна Асимптотические методы в анализе - там есть подобные задачи.

[Евгений Машеров]

Ну, если совсем уж начинать, я бы уравнение потенцировал и записал бы, как $e^x-x^2=\lambda^2$, тогда сразу видно, что

krupen в сообщении #1082334 писал(а):

$x(\lambda)\sim2\ln(\lambda)$ ; $(\lambda\to+\infty)$

[B@R5uk]

Вообще, исходное уравнение имеет единственное решение для всех значений параметра, которое является его чётной функцией.

[ex-math]

Вряд ли это нужно ТС, но если надо найти не только первые члены и в относительно замкнутом виде, то поможет ряд Бюрмана-Лагранжа и его обобщения (одно из красивых применений теоремы Руше).

[krupen]

Проблема в том, что первый член уже задан условием задачи, и я не могу разобраться, каким образом он получен, чтобы искать остальные

[Brukvalub]

Вам же уже написали план доказательства:
1.

Sonic86 в сообщении #1082343 писал(а):

очевидно, например, что $x=o(\lambda)$ при $\lambda\to\infty$

Если это не очевидно - докажите!
2. $\frac{\ln\lambda^2}{x}+\frac{\ln(\frac{x^2}{\lambda^2}+1)}{x} = 1$ , то есть $\frac{2\ln\lambda}{x}+o(1) = 1$, что эквивалентно сказанному выше про первый член асимптотики. Как поступать дальше, Sonic86 тоже написАл.

[Евгений Машеров]

Может, так?

krupen в сообщении #1082334 писал(а):

$\ln(x^2 + \lambda^2) = x$

$x=\ln(x^2+\lambda^2)=2\ln\lambda+\ln(1+x^2/\lambda^2)=2\ln\lambda+\frac {x^2}{\lambda^2}-\frac {x^4}{2\lambda^4}+\frac {x^6}{3\lambda^6}-\frac {x^8}{4\lambda^8}+\dots$

[Brukvalub]

Евгений Машеров, вам не кажется странным получать асимптотику корня уравнения с параметром выражением, содержащим не только параметр, но и сам этот корень...

[Евгений Машеров]

Ну, так это ещё не решение, а подсказка...

[krupen]

Подскажите, пожалуйста, при нахождении второго члена делаю что-то не так и получаю не совсем то

$x = ln((2ln(\lambda) + O(\frac{ln^2(\lambda^2)}{\lambda^2}))^2 + \lambda^2) = ... = 2ln(\lambda) + ln(\frac{4ln^2(\lambda)}{\lambda^2}(1+\frac{1}{ln(\lambda)}*O(\frac{ln^2(\lambda^2)}{\lambda^2})+ O(\frac{ln^4(\lambda^2)}{\lambda^2})* \frac{\lambda^2}{4ln^2(\lambda)} + \frac{\lambda^2}{4ln^2(\lambda)} ))$
а должен вылезти второй член $\frac{4ln^2(\lambda)}{\lambda^2}$

[Sonic86]

Можете рассуждение полностью написать? Сейчас непонятно, откуда взялась 1-я формула, потому и посоветовать что-то не получается совсем.

[krupen]

Первый член:
$\ln(x^2 + \lambda^2) = x$
$x = O(\ln(\lambda^2))$ $\Rightarrow$
$x = ln((O(ln(\lambda^2)))^2 + \lambda^2) = ln(\lambda^2(\frac{O(ln^2(\lambda^2))}{\lambda^2}) + 1)$
Так как $ln(1 + x) = O(x)$ и $ln(1 + x) = x + O(x^2)$, то
$x = ln(\lambda^2 + ln(O\frac{(ln^2(\lambda^2))}{\lambda^2} + 1)) = 2ln(\lambda) + O\frac{(ln^2(\lambda^2))}{\lambda^2}$
Второй член:
$x = ln((2ln(\lambda) + O\frac{(ln^2(\lambda^2))}{\lambda^2})^2 + \lambda^2) = ln(4ln^2(\lambda) + 4ln(\lambda) \cdot O\frac{(ln^2(\lambda^2))}{\lambda^2} + O\frac{(ln^4(\lambda^2))}{\lambda^4} + \lambda^2) = ln(\lambda^2(\frac{4ln^2(\lambda)}{\lambda^2} + \frac{4ln(\lambda)}{\lambda^2} \cdot O\frac{(ln^2(\lambda^2))}{\lambda^2} + O\frac{(ln^4(\lambda^2))}{\lambda^6} + 1)) = 2ln(\lambda) + ln(\frac{4ln^2(\lambda)}{\lambda^2} + \frac{4ln(\lambda)}{\lambda^2}\cdot O\frac{(ln^2(\lambda^2))}{\lambda^2} + O\frac{(ln^2(\lambda^2))}{\lambda^6} + 1)$

Я знаю, что второй член должен получиться $\frac{4ln^2(\lambda)}{\lambda^2}$, но как его вытащить из скобок, не могу понять

[Lia]

krupen
Пишите \ln. Это так просто.

[B@R5uk]

krupen в сообщении #1084930 писал(а):

$x = O(\ln(\lambda^2))$

Это вы плохо сделали. Если собрались искать второй член, то первый надо точно выписать, а не по порядку величины.