2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Квадратурная формула Гаусса
Сообщение15.12.2015, 03:31 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
Доброго времени суток, мне нужно вычислить интеграл $\int\limits_{-1}^{19/11} (59+88x-121x^2)^2dx$ с помощью квадратурной формулы Гаусса порядка 2.

Я преобразую этот интеграл так, чтобы пределы интегрирования стали от -1 до 1, замена вот такая $x=\frac{1}{2}\left(\frac{19}{11}-1\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{19}{11}+1\right)\xi$, тогда исходный интеграл принимает вид
$$I=\frac{1}{2}\left(\frac{19}{11}+1\right)\int\limits_{-1}^1 \left[59+88\left[\frac{1}{2}\left(\frac{19}{11}-1\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{19}{11}+1\right)\xi\right]-121\left[\frac{1}{2}\left(\frac{19}{11}-1\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{19}{11}+1\right)\xi\right]^2\right]^2 d\xi$$
Получили интеграл вида I=$\int\limits_{-1}^1 \varphi(\xi)d\xi$ где
$$\varphi(\xi)=\frac{1}{2}\left(\frac{19}{11}+1\right)\left[59+88\left[\frac{1}{2}\left(\frac{19}{11}-1\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{19}{11}+1\right)\xi\right]-121\left[\frac{1}{2}\left(\frac{19}{11}-1\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{19}{11}+1\right)\xi\right]^2\right]^2$$
И этот интеграл теперь нужно посчитать при помощи формулы $$I=\sum\limits_{k=1}^2\gamma_k\varphi(\xi_k)=\gamma_1\varphi(\xi_1)+\gamma_2\varphi(\xi_2)+R$$
Здесь $\gamma_k ,\xi_k$ -весовые коэффициент и нули полинома Лежандра $L_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1)$
Как известно $\gamma_1=\gamma_2=1, \xi_{1,2}=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$
Собственно, подставляя все найденное в формулу Гаусса и отбрасывая R, приближенно находим $1.93784\cdot 10^{-14}$. Хотя Математика мне выдала $\frac{135000}{11}$, я воспользовался здесь функцией NIntegrate.
Что я не так делаю?

-- 15.12.2015, 02:35 --

А, вот ещё, если в исходном интеграле не делать замены переменной, а воспользоваться формулой Гаусса вида
$$I=\sum\limits_{k=1}^2 c_k f(x_k) $$
где $c_k=\frac{1}{2}\left(\frac{19}{11}+1\right)\gamma_k$, а $x_k=\frac{1}{2}\left(\frac{19}{11}-1\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{19}{11}+1\right)\xi_k$, то получится ответ, который отличен от того, что я получил первым способом. В чем тута дело? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратурная формула Гаусса
Сообщение15.12.2015, 09:39 
Заслуженный участник


16/02/13
3900
Владивосток
fronnya в сообщении #1082241 писал(а):
приближенно находим $1.93784\cdot 10^{-14}$
Проверяйте. У вас как-то ну очень уж мало; у Математики как-то очень уж много. Либо вы неверно посчитали, либо вы неверно вбили в Математику. Либо вы ошиблись, либо вы ошиблись :wink:
fronnya в сообщении #1082241 писал(а):
получится ответ, который отличен от того, что я получил первым способом
Вот уж тут — однозначно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратурная формула Гаусса
Сообщение15.12.2015, 09:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5001
Нов-ск
fronnya в сообщении #1082241 писал(а):
$$I=\sum\limits_{k=1}^2\gamma_k\varphi(\xi_k)=\gamma_1\varphi(\xi_1)+\gamma_2\varphi(\xi_2)+R$$
В чем тута дело? :shock:

Чему равны $\varphi(\xi_1), \;\varphi(\xi_2) \;?$

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратурная формула Гаусса
Сообщение15.12.2015, 10:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17735
Москва
А что, выполнять арифметические операции вручную уже совсем запрещено? Что это за страшилища такие? Я про $x=\frac{1}{2}\left(\frac{19}{11}-1\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{19}{11}+1\right)\xi$ и последующее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратурная формула Гаусса
Сообщение15.12.2015, 12:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
7940
Москва
Это учебная задача или прикладная? Если учебная, боюсь, она с наколкой. Подынтегральное выражение - сдвинутый полином Лежандра, в узлах гауссовой квадратуры принимает значение 0, и точный ответ будет 0. Смысл наколки - заставить понять условия применимости гауссовой квадратуры. В частности, для какого порядка она работает, и какова степень здесь у подынтегрального выражения.

-- 15 дек 2015, 13:29 --

Величина порядка $10^{-14}$ выглядит подозрительно близкой к границе машинной точности. И можно предположить, что правильный ответ мог бы дать А.С.Пушкин, у которого, как известно, вся математика заканчивалась нулём. В том смысле правильный, что при вычислениях по данной формуле без машинных ошибок, округления и т.п. должен был бы получиться 0. А поскольку у нас арифметика с конечной точностью, корни квадратные считаются по приближённым формулам и т.п., расчёт по данной формуле даёт не 0, а число, к нулю близкое. Но в другом смысле это ответ неправильный, даже при абсолютной точности. Правильный, или точнее, близкий к правильному дала Matematica (насколько близкий - не знаю, зависит от числа узлов и применяемой формулы, но думаю, что относительная погрешность вряд ли больше $10^{-10}$). Что дал Ваш третий подход - полагаю, там тоже "околоноля", но поскольку иные ошибки округления, не такое "околоноля", как в первом подходе к снаряду.
А квадратура Гаусса, она работает для порядка $(2n-1)$, то есть для третьей степени. А у Вас?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратурная формула Гаусса
Сообщение15.12.2015, 22:33 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
Евгений Машеров в сообщении #1082314 писал(а):
Это учебная задача или
прикладная?

учебная



Евгений Машеров в сообщении #1082314 писал(а):
А квадратура Гаусса, она работает для порядка $(2n-1)$, то есть для третьей степени. А у Вас?

А у меня четвертая. В учебниках говорится, что формула работает точно для многочленов не выше степени $2n-1$, это значит, что в моем случае как бы должна быть погрешность. Но я вот только что ещё раз все перепроверил, записал в виде $\sum\limits_{k=1}^n c_k \varphi(\xi_k)$ и получился точный нуль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратурная формула Гаусса
Сообщение15.12.2015, 23:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
7940
Москва
Да. Если не выполнено условие применения формулы - формула имеет право не работать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратурная формула Гаусса
Сообщение16.12.2015, 11:59 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
Евгений Машеров в сообщении #1082507 писал(а):
Да. Если не выполнено условие применения формулы - формула имеет право не работать.

Где читал, нигде не видел условий применения формулы. Вы говорите, что подынтегральная функция - это сдвинутный полином Лежандра и в узлах Гауссовой квадратуры она зануляется. Я, честно говоря, впервые сталкиваюсь с полиномами Лежандра, вот в википедии прочитал, что сдвинутым называется полином $P(2x-1)$, где функция $2x-1$ выбрана так, чтобы однозначно отображать интервал ортогональности полиномов Лежандра $[-1;1]$ на $[0;1]$, где будут ортогональны уже сдвинутые полиномы Лежандра. Это я понял. А вот у нас какая функция и что на что она отображает? Интервал $[-1;1]$ на интервал $[-1;\frac{19}{11}]$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратурная формула Гаусса
Сообщение16.12.2015, 12:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5001
Нов-ск
fronnya в сообщении #1082625 писал(а):
А вот у нас какая функция и что на что она отображает? Интервал $[-1;1]$ на интервал $[-1;\frac{19}{11}]$ ?
У нас подынтегральная функция обращается в ноль в корнях полинома второй степени, который ортогонален всем полиномам меньшей степени на отрезке $[-1; 19/11]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратурная формула Гаусса
Сообщение16.12.2015, 13:02 
Аватара пользователя


11/06/12
9909
лучший.магия.интрига
Вы уж все меня простите, но интеграл, выписанный в первой строке первого сообщения темы, действительно равен $135000/11$ ;-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратурная формула Гаусса
Сообщение16.12.2015, 14:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
7940
Москва
Конечно, равен. И даже аналитически его посчитать немногим сложнее, чем численно. Речь о другом. Его предложено посчитать по формуле Гаусса с двумя узлами. Единственный смысл такого задания, как мне видится, показать "как не надо делать". Потому, что получится "ответ имени Сашеньки Пушкина", в смысле 0. Хотя даже на глаз видно, что величина существенно положительная, как интеграл от положительной (ну, в двух точках ноль, но не будем крохоборствовать) величины. И, ИМХО, от студента требуется не число, а понимание того, почему не получается, и как надо делать (и как не делать), чтобы получилось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратурная формула Гаусса
Сообщение16.12.2015, 14:18 
Аватара пользователя


11/06/12
9909
лучший.магия.интрига
А, ну другое дело. (Что-то подобное и предполагал, но плохо, видимо, вчитывался в обсуждение и окончательно всё уяснил только сейчас; спасибо).

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратурная формула Гаусса
Сообщение16.12.2015, 18:17 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
Всем спасибо за ответы!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group