Доказательство существования тождественного преобразования

[timber]

Пусть $M$ -- произвольное множество. Преобразование множества $M$ -- это произвольное взаимно однозначное отображение множества M на себя, $g: M \to M$. Два преобразования $g_1$ и $g_2$ равны, если $g_1(A) = g_2(A)$ для любого элемента $A$ из $M$. Так как преобразование -- это взаимно однозначное отображение, то для каждого преобразования $g$ существует обратное преобразование $g^{-1}$, которое определяется следующим образом: если $g(A) = B$, то $g^{-1}(B) = A$.

Произведение преобразований $g_1$ и $g_2$ определяется так: $(g_1 g_2)(A) = g_1( g_2(A))$ (сначала делается преобразование $g_2$, затем $g_1$). Если $g_1$ и $g_2$ -- преобразования множества $M$, то $g_1 g_2$ -- также преобразование множества $M$.

Определение. Пусть некоторое множество преобразований $G$ обладает следующими свойствами: 1) если преобразования $g_1$ и $g_2$ содержатся в $G$, то и их произведение $g_3 = g_1g_2$ содержится в $G$; 2) если преобразование $g$ содержится в $G$, то и обратное ему преобразование $g^{-1}$ содержится в $G$. Тогда такое множество преобразований $G$ будем называть группой преобразований.

Необходимо доказать, что любая группа преобразований содержит тождественное преобразование $e$ такое, что $e(A) = A$ для любого элемента $A$ множества $M$.

Пусть есть некоторая группа преобразований $G$. Всегда можно взять некоторое преобразование $g_i = e$ независимо от количества преобразований в $G$, для которого будет справедливо условие 1), например: $g_2 = e, (g_1g_2)(A)=(g_1e)(A)=g_1(e(A))=g_1(A)$. Легко будет выполняться и условие 2), так как $e^{-1}=A$.

Думаю, что моя логика доказательства какая-то кривая. Может я что-то не понимаю или усложняю, и мне нужно "тренироваться на кошках"?

[Dan B-Yallay]

timber в сообщении #1082235 писал(а):

Думаю, что моя логика доказательства какая-то кривая.

Да. Почему Вы уверены, что

timber в сообщении #1082235 писал(а):

Всегда можно взять некоторое преобразование $g_i = e$ независимо от количества преобразований в $G$

Вам ведь именно этот факт нужно доказать? А вы берете это как данное.

Попробyйте лучше рассмотреть произведение двух преобразований: $g \in G$ и его обратного.

[arseniiv]

Доказать не получится, потому что пустое множество преобразований является группой преобразований. Вот если потребовать, чтобы хоть одно преобразование там было… (выше это не требуется).

[timber]

Dan B-Yallay в сообщении #1082237 писал(а):

timber в сообщении #1082235 писал(а):

Думаю, что моя логика доказательства какая-то кривая.

Да. Почему Вы уверены, что

timber в сообщении #1082235 писал(а):

Всегда можно взять некоторое преобразование $g_i = e$ независимо от количества преобразований в $G$

Вам ведь именно этот факт нужно доказать? А вы берете это как данное.

Ну я и дебииил.

Dan B-Yallay в сообщении #1082237 писал(а):

Попробyйте лучше рассмотреть произведение двух преобразований: $g \in G$ и его обратного.

Вы пишете об этом?

$(g \cdot g^{-1})(A) = g(g^{-1}(A))=g (B) = A = e(A)$

[Dan B-Yallay]

Да, об этом. Обратите также внимание на пост arseniiv выше.

[timber]

Dan B-Yallay в сообщении #1082475 писал(а):

Да, об этом. Обратите также внимание на пост arseniiv выше.

Спасибо.

Допустим, что есть группа $G$ только c одним преобразованием $g$. Тогда в $G$ есть и $g^{-1}$ и произведение$g\cdot g^{-1}$. Найдем это произведение ... Так?

Тут меня смущает требование, что $G$ это любая группа. Правильно я понимаю, что сколько бы преобразований не содержала группа, всегда в группе существует и можно выбрать $g_i^{-1}$ и найти $g_i\cdot g_i^{-1}$?

[popolznev]

timber в сообщении #1082492 писал(а):

Допустим, что есть группа $G$ только c одним преобразованием $g$...

Вам надо не только с одним, а хотя бы с одним. Нижний индекс там не нужен: просто берёте какое-нибудь преобразование, и тыц-пыц.

[arseniiv]

timber в сообщении #1082492 писал(а):

Тут меня смущает требование, что $G$ это любая группа. Правильно я понимаю, что сколько бы преобразований не содержала группа, всегда в группе существует и можно выбрать $g_i^{-1}$ и найти $g_i\cdot g_i^{-1}$?

Да — ведь эти свойства

timber в сообщении #1082235 писал(а):

1) если преобразования $g_1$ и $g_2$ содержатся в $G$, то и их произведение $g_3 = g_1g_2$ содержится в $G$; 2) если преобразование $g$ содержится в $G$, то и обратное ему преобразование $g^{-1}$ содержится в $G$

гарантированы определением. Если $g\in G$, то $g^{-1}\in G$, и, раз $g,g^{-1}\in G$, то и $gg^{-1}\in G$.