2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 решить задачу коши
Сообщение05.12.2007, 21:25 
\[
xy'' - xy' - y = 0
\],y(0)=0,y'(0)=1.
я попыталась понизить порядок с помощью подстановки \[
y = e^{\int {z(x)dx} } 
\], исп-ся для однородной ф-ции.но у меня z(x) получаеся такое, что из него фиг выразишь y.

 
 
 
 
Сообщение05.12.2007, 22:34 
Аватара пользователя
Это уравнение однородно относительно искомой функции и всех ее производных, поэтому делаем замену \[y' = yz \Rightarrow y'' = y(z^2  + z')\]

 
 
 
 
Сообщение05.12.2007, 22:48 
ну понятно дело!получаем диф.уравнение с понижением порядка\[
x(z^2  + z') - xz - 1 = 0
\], \[
z' + z^2  - z = \frac{1}
{x}
\], решая его методом вариации произвольной постоянной получаем:\[
z - z^2  = e^x C(x)
\], из которого потом фиг получишь С(x)!!!!

 
 
 
 
Сообщение05.12.2007, 23:08 
Аватара пользователя
Факир был пьян и фокус не удался. Уравнение больно ударилось об Рикатти. Думаем дальше :roll:

 
 
 
 
Сообщение05.12.2007, 23:14 
Аватара пользователя
Одно частное решение $y_1=xe^x$. Далее вводим новую неизвестную функцию $z$ по формуле $y=y_1\int zdx$.

 
 
 
 
Сообщение05.12.2007, 23:34 
так вот и именно, нормально че-то частное решение не находится.а \[
z_1  = xe^x 
\] не подходит, т.к. \[
xe^x  + e^x  + x^2 e^{2x}  - xe^x 
\], ну никак не равно 1/x!

 
 
 
 
Сообщение05.12.2007, 23:41 
Аватара пользователя
olga_helga писал(а):
\[
z_1  = xe^x 
\] не подходит, т.к. \[
xe^x  + e^x  + x^2 e^{2x}  - xe^x 
\], ну никак не равно 1/x!


А разве я написал $z_1$?

 
 
 
 
Сообщение06.12.2007, 00:52 
Someone писал(а):
Одно частное решение $y_1=xe^x$. Далее вводим новую неизвестную функцию $z$ по формуле $y=y_1\int zdx$.


Зачем что-то далее, если надо задачу Коши решить?

 
 
 
 
Сообщение06.12.2007, 14:24 
Аватара пользователя
V.V. писал(а):
Someone писал(а):
Одно частное решение $y_1=xe^x$. Далее вводим новую неизвестную функцию $z$ по формуле $y=y_1\int zdx$.


Зачем что-то далее, если надо задачу Коши решить?


Да я написал и только потом заметил, что это частное решение и начальным условиям удовлетворяет. Только вот как теперь объяснить, откуда это частное решение взялось? Если студент скажет преподавателю, что "посмотрел и догадался, какой ответ"...

 
 
 
 
Сообщение06.12.2007, 14:31 
Someone писал(а):
Только вот как теперь объяснить, откуда это частное решение взялось? Если студент скажет преподавателю, что "посмотрел и догадался, какой ответ"...


Откуда такое частное решение взялось, тоже непонятно. :)

На самом деле, если студентка приведет ответ и докажет, что других ответов не бывает, почему бы ей не зачесть этот номер?

 
 
 
 
Сообщение06.12.2007, 14:55 
Аватара пользователя
olga_helga писал(а):
ну понятно дело!получаем диф.уравнение с понижением порядка\[
x(z^2  + z') - xz - 1 = 0
\], \[
z' + z^2  - z = \frac{1}
{x}
\]


Ну ладно, раз уж у нас уравнение Риккати получилось, догадываемся, что оно имеет частное решение $z_1=1+\frac 1x$, и сводим его к линейному уравнению подстановкой $z=z_1+\frac 1u=1+\frac 1x+\frac 1u$.

Добавлено спустя 2 минуты 32 секунды:

V.V. писал(а):
Someone писал(а):
Только вот как теперь объяснить, откуда это частное решение взялось? Если студент скажет преподавателю, что "посмотрел и догадался, какой ответ"...


Откуда такое частное решение взялось, тоже непонятно.


Вот я потому и спрашиваю: как объяснить? Я-то его с помощью операционного исчисления нашёл.

Добавлено спустя 20 минут 39 секунд:

Можно, конечно, придумать какой-нибудь фокус. Например, если в исходное уравнение подставить $y=ue^x$, то получится уравнение, для которого $u=x$ является очевидным решением.

 
 
 
 
Сообщение06.12.2007, 21:28 
Делаем замену y=xZ, получаем уравнение
x^2(Z''-Z')+2x(Z'-Z)=0
которое уже хорошо разрешается относительно $(Z'-Z)$
Откручиваем обратно и получаем уравнение $xy'-(x+1)y=C$
Из граничных условий получаем, что C=0 и находим ответ y=xe^x

Вроде, сходится.

 
 
 
 
Сообщение06.12.2007, 22:47 
Аватара пользователя
Красиво!

 
 
 
 
Сообщение07.12.2007, 00:26 
Аватара пользователя
Да, это хороший вариант.

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group