2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Полно ли l^2 с равномерной нормой?
Сообщение14.12.2015, 18:30 


14/12/15
3
Нужно выяснить, полно ли $l^2$ с нормой $||x||_\infty=\sup\limits_n |x_n|$.

Вот, как я пытался доказать, что $l^2$ в этой норме полно.

Пусть $\lbrace x^{(n)} \rbrace=\lbrace (x_1^{(n)},x_2^{(n)},x_3^{(n)}, \ldots)\rbrace$ – фундаментальная последовательность в $l^2$, то есть $\forall \varepsilon\,\,\,\exists N: \forall n,m>N\,\,\, \rho(x^{(n)},x^{(m)})=\sup\limits_k|x_k^{(n)}-x_k^{(m)}|<\varepsilon$. Тогда для любого $k$ справедливо $|x_k^{(n)}-x_k^{(m)}|<\varepsilon$, следовательно, существует предел $x_k:=\lim\limits_{n \to \infty} x_k^{(n)}$. Остаётся доказать (если это, конечно, правда), что $x=(x_1,x_2,x_3, \ldots)\in l^2$, то есть, что $\sum \limits_{k=1}^{\infty} x_k^2<\infty$. Вот это у меня никак не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полно ли l^2 с равномерной нормой?
Сообщение14.12.2015, 18:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
fyodor95 в сообщении #1082133 писал(а):
Вот это у меня никак не получается.
И не получится.

Контрпример придумайте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полно ли l^2 с равномерной нормой?
Сообщение14.12.2015, 18:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
А известно ли Вам что-нибудь про пространство $l^\infty?$

 Профиль  
                  
 
 Re: Полно ли l^2 с равномерной нормой?
Сообщение14.12.2015, 18:58 


14/12/15
3
Someone в сообщении #1082139 писал(а):
fyodor95 в сообщении #1082133 писал(а):
Вот это у меня никак не получается.
Контрпример придумайте.

Кажется, придумал!
Положим $x_k^{(n)}:=\cfrac{1}{k^{\frac{1}{2}+\frac{1}{n}}}$. Тогда $x_k:=\lim\limits_{n \to \infty} x_k^{(n)}=\lim\limits_{n \to \infty}\cfrac{1}{k^{\frac{1}{2}+\frac{1}{n}}}=\frac{1}{\sqrt{k}}=:x_k$.
Ряд $\sum \limits_{k=1}^{\infty}\cfrac{1}{k^{1+\frac{2}{n}}}$ сходится, а ряд $\sum \limits_{k=1}^{\infty}\cfrac{1}{k}$ – расходится.

-- 14 дек 2015, 19:32 --

Правда, что-то никак не получается доказать фундаментальность описанной последовательности $x^{(n)}$. Похоже, что она не фундаментальна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полно ли l^2 с равномерной нормой?
Сообщение14.12.2015, 20:15 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
fyodor95 в сообщении #1082149 писал(а):
Правда, что-то никак не получается доказать фундаментальность описанной последовательности $x^{(n)}$. Похоже, что она не фундаментальна.
А Вы не забыли, что фундаментальность нужна именно в равномерной норме? В норме $l_2$ конечно не будет фундаментальна, так как $||x^{(n)}||_2\to\infty$
А $$\max_k|\frac 1{k^{\frac 12+\frac 1n}}-\frac 1{k^{\frac 12+\frac 1m}}|$$ оценивается через $$\max_k|\frac d{dx}k^x|_{x=-\frac 12}|$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Полно ли l^2 с равномерной нормой?
Сообщение14.12.2015, 21:20 


14/12/15
3
Ну, вроде и фундаментальность доказал.
Число $$\frac 1{k^{\frac 12+\frac 1n}}$$ при фиксированном $k$ и увеличивающемся $n$ возрастает (проверяется взятием производной, как было написано постом выше), поэтому справедливо, что $$\frac 1{k^{\frac 12+\frac 1N}}<\frac 1{k^{\frac 12+\frac 1n}},\frac 1{k^{\frac 12+\frac 1m}}<\frac 1{\sqrt{k}}.$$ Тогда, выбирая по данному $\varepsilon$ число $N$ так, чтобы $$\frac 1{\sqrt{k}}-\frac 1{k^{\frac 12+\frac 1N}}<\varepsilon,$$ получим требуемое неравенство $$\sup_k\left\lvert\frac 1{k^{\frac 12+\frac 1n}}-\frac 1{k^{\frac 12+\frac 1m}}\right\rvert<\varepsilon.$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group