Помогите разобраться, почему

свободна от кручения? Есть общий факт, что любая свободная абелева группа не содержит кручения. Доказательство состоит в том, что записывается разложение элемента по базису группы, делается предположение, что кручение есть, домножаем на соответствующее число, но тогда получаем равную нулю сумму элементов базиса с отличными от нуля коэффициентами. Элементами группы

с коэффициентами в

являются классы эквивалентности коцепей

, которые сопоставляют каждому сингулярному симплексу

его значение в группе

. Но поскольку сингулярные

симплексы образуют базис в соответствующей группе

, то базис есть и в

(если есть базис в каком-то пространстве, то есть и двойственный к нему базис в линейных функциях над этим пространством). Такое рассуждение кажется мне правильным, но оно не различает группы гомологий и когомологий, а в гомологиях кручение может быть. Что я упускаю?