Функциональные свойства прикладных операторов

[ProPupil]

Здравствуйте, у меня возник такой вопрос: существует ли литература, в которой изучаются функциональные свойства дифференциальных операторов, находящих применение в прикладных задачах?

Сейчас я задался следующим вопросом: Рассмотрим оператор $-\Delta: W_2^{1,0}(G) \to L_2(G)$, который переводит функцию $u$ в функцию $-\Delta u$ по правилу

$$\int\limits_G (-\Delta u)\cdot \varphi\, dx = \int\limits_G \nabla u \cdot \nabla \varphi \, dx \quad \forall \varphi \in W_2^{1,0}(G)$$

Я задался вопросом, является ли он вполне непрерывным оператором, если $\|u\| _{W_2^{1,0}(G)}=\|\nabla u\|_{L_2(G)}$? Иными словами, переводит ли он всякую слабо сходящуюся последовательность в сильно сходящуюся?

Моя попытка: Пусть $x_n \to x$ слабо в $W_2^{1,0}(G)$, т. е.

$$\forall f \in W_2^{-1}(G) \quad \langle f, x_n \rangle \to \langle f, x \rangle$$

Тогда

$$\|-\Delta(x_n - x)\|_{L_2(G)}^2 = \int\limits_G |\Delta(x_n - x)|^2\,dx $$

Далее я хочу взять последовательность функций усреднения, которые в некотором смысле будет стремиться к единице, но я не уверен, что это будет правильным методом, т. к. $1 \not \in W_2^{1,0}(G)$.