Алгебраическая геометрия, изоморфность многообразий

[Felt]

Задача: доказать, что для каждого неразложимого ненулевого многочлена $f$ степени 2 в $\mathbb{C}[x,y]$ множество всех его нулей $V({f})$ изоморфно одному из следующих двух множеств: $V(\lbrace y-x^2 \rbrace)$, $V(\lbrace xy-1 \rbrace)$.

Начал с того, что рассмотрел что значит разложимый многочлен степени два, он может быть только вида
$(a_1 x+ a_2 y +a_3)(b_1 x+b_2 y +b_3)$, то есть в сущности это "прямые" в комплексном пространстве. С другой стороны два алгебраических множества X,Y изоморфны тогда и только тогда,когда изоморфны $\mathbb{C}[x,y]/I(X)$ и $\mathbb{C}[x,y]/I(Y)$. Для множества $V(\lbrace y-x^2 \rbrace)$ имеем, что $\mathbb{C}[x,y]/I(V(\lbrace y-x^2 \rbrace)) \simeq \mathbb{C}[x]$.
Можно дальше, к примеру, рассмотреть неразложимые квадрики - и там вроде не сложно. Но кроме квадрик существуют и другие неразложимые многочлены. Куда копать? Общий вид неразложимого многочлена второй степени слишком общий, чтобы выносить какой-то вердикт изоморфен ли он или нет одному из перечисленных множеств.

[apriv]

Felt в сообщении #1081530 писал(а):

Общий вид неразложимого многочлена второй степени слишком общий, чтобы выносить какой-то вердикт изоморфен ли он или нет одному из перечисленных множеств.

Тут в соседней теме спрашивают, зачем нужно квадратичную форму приводить к диагональному виду. Ну, вот затем и нужно.

[Felt]

apriv в сообщении #1081563 писал(а):

Felt в сообщении #1081530 писал(а):

Общий вид неразложимого многочлена второй степени слишком общий, чтобы выносить какой-то вердикт изоморфен ли он или нет одному из перечисленных множеств.

Тут в соседней теме спрашивают, зачем нужно квадратичную форму приводить к диагональному виду. Ну, вот затем и нужно.

Я понимаю зачем, поэтому и написал, что с квадратичными форами легко. Но не каждый многочлен второй степени - квадратичная форма

[Xaositect]

А линейная часть убирается ровно так же, как и произведения разных переменных. В итоге получится $ax^2 + by^2 + c$.

И вообще, каждому многочлену степени $d$ от $n - 1$ переменной соответствует однородный многочлен степени $d$ от $n$ переменных.

[Felt]

Xaositect в сообщении #1081574 писал(а):

А линейная часть убирается ровно так же, как и произведения разных переменных. В итоге получится $ax^2 + by^2 + c$.

И вообще, каждому многочлену степени $d$ от $n - 1$ переменной соответствует однородный многочлен степени $d$ от $n$ переменных.

а можно поподробнее? Каким образом убирается? как вы уберете линейную часть, скажем в $y+x^2$?

[Xaositect]

$x^2 + (y + \frac12)^2 - (y - \frac12)^2$ :)

Тут - никак. Но это единственный такой случай. Если есть и квадрат переменной, и линейная часть - то убирается.

[Felt]

Ну допустим, но что это даст? У меня же не три переменных, чтобы провести линейное преобразование.

[Xaositect]

Там смайлик стоит. А комментарий дальше - это намек по решению.

Сначала берем квадратичную часть, приводим ее к диагональному виду. Там два варианта.
Потом избавляемся от линейной и константной частей насколько можно. Остается 5 вариантов, из которых два разложимы.

[Felt]

то есть все можно привести к одной с следующих квадрик:
$x^2+y^2-1=0$
$x^2+y^2+1=0$
$x^2-y^2-1=0$
$x^2-2y=0$
$x^2+y^2=0$
$x^2-y^2=0$
$x^2-1=0$
$x^2+1=0$
$x^2=0$?

-- 12.12.2015, 13:51 --

5 и 6, 7 и 8 в комплексном пространстве в сущности то же самое, достаточно домножить $i$. Они же и разложимые. Остается гипербола, парабола, для которых изоморфизм - линейный многочлен, и два эллипса, верно?

[Xaositect]

В остальных тоже можно избавиться от минусов, домножив нужные координаты на $i$. Над комплексными числами гипербола и эллипс - одно и то же.