2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Алгебраическая геометрия, изоморфность многообразий
Сообщение12.12.2015, 02:42 


20/12/13
139
Задача: доказать, что для каждого неразложимого ненулевого многочлена $f$ степени 2 в $\mathbb{C}[x,y]$ множество всех его нулей $V({f})$ изоморфно одному из следующих двух множеств: $V(\lbrace y-x^2 \rbrace)$, $V(\lbrace xy-1 \rbrace)$.

Начал с того, что рассмотрел что значит разложимый многочлен степени два, он может быть только вида
$(a_1 x+ a_2 y +a_3)(b_1 x+b_2 y +b_3)$, то есть в сущности это "прямые" в комплексном пространстве. С другой стороны два алгебраических множества X,Y изоморфны тогда и только тогда,когда изоморфны $\mathbb{C}[x,y]/I(X)$ и $\mathbb{C}[x,y]/I(Y)$. Для множества $V(\lbrace y-x^2 \rbrace)$ имеем, что $\mathbb{C}[x,y]/I(V(\lbrace y-x^2 \rbrace)) \simeq \mathbb{C}[x]$.
Можно дальше, к примеру, рассмотреть неразложимые квадрики - и там вроде не сложно. Но кроме квадрик существуют и другие неразложимые многочлены. Куда копать? Общий вид неразложимого многочлена второй степени слишком общий, чтобы выносить какой-то вердикт изоморфен ли он или нет одному из перечисленных множеств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая геометрия, изоморфность многообразий
Сообщение12.12.2015, 14:32 
Заслуженный участник


08/01/12
915
Felt в сообщении #1081530 писал(а):
Общий вид неразложимого многочлена второй степени слишком общий, чтобы выносить какой-то вердикт изоморфен ли он или нет одному из перечисленных множеств.

Тут в соседней теме спрашивают, зачем нужно квадратичную форму приводить к диагональному виду. Ну, вот затем и нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая геометрия, изоморфность многообразий
Сообщение12.12.2015, 15:00 


20/12/13
139
apriv в сообщении #1081563 писал(а):
Felt в сообщении #1081530 писал(а):
Общий вид неразложимого многочлена второй степени слишком общий, чтобы выносить какой-то вердикт изоморфен ли он или нет одному из перечисленных множеств.

Тут в соседней теме спрашивают, зачем нужно квадратичную форму приводить к диагональному виду. Ну, вот затем и нужно.


Я понимаю зачем, поэтому и написал, что с квадратичными форами легко. Но не каждый многочлен второй степени - квадратичная форма

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая геометрия, изоморфность многообразий
Сообщение12.12.2015, 15:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
А линейная часть убирается ровно так же, как и произведения разных переменных. В итоге получится $ax^2 + by^2 + c$.

И вообще, каждому многочлену степени $d$ от $n - 1$ переменной соответствует однородный многочлен степени $d$ от $n$ переменных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая геометрия, изоморфность многообразий
Сообщение12.12.2015, 15:09 


20/12/13
139
Xaositect в сообщении #1081574 писал(а):
А линейная часть убирается ровно так же, как и произведения разных переменных. В итоге получится $ax^2 + by^2 + c$.

И вообще, каждому многочлену степени $d$ от $n - 1$ переменной соответствует однородный многочлен степени $d$ от $n$ переменных.


а можно поподробнее? Каким образом убирается? как вы уберете линейную часть, скажем в $y+x^2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая геометрия, изоморфность многообразий
Сообщение12.12.2015, 15:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
$x^2 + (y + \frac12)^2 - (y - \frac12)^2$ :)

Тут - никак. Но это единственный такой случай. Если есть и квадрат переменной, и линейная часть - то убирается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая геометрия, изоморфность многообразий
Сообщение12.12.2015, 15:23 


20/12/13
139
Ну допустим, но что это даст? У меня же не три переменных, чтобы провести линейное преобразование.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая геометрия, изоморфность многообразий
Сообщение12.12.2015, 15:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Там смайлик стоит. А комментарий дальше - это намек по решению.

Сначала берем квадратичную часть, приводим ее к диагональному виду. Там два варианта.
Потом избавляемся от линейной и константной частей насколько можно. Остается 5 вариантов, из которых два разложимы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая геометрия, изоморфность многообразий
Сообщение12.12.2015, 15:46 


20/12/13
139
то есть все можно привести к одной с следующих квадрик:
$x^2+y^2-1=0$
$x^2+y^2+1=0$
$x^2-y^2-1=0$
$x^2-2y=0$
$x^2+y^2=0$
$x^2-y^2=0$
$x^2-1=0$
$x^2+1=0$
$x^2=0$?

-- 12.12.2015, 13:51 --

5 и 6, 7 и 8 в комплексном пространстве в сущности то же самое, достаточно домножить $i$. Они же и разложимые. Остается гипербола, парабола, для которых изоморфизм - линейный многочлен, и два эллипса, верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая геометрия, изоморфность многообразий
Сообщение12.12.2015, 15:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
В остальных тоже можно избавиться от минусов, домножив нужные координаты на $i$. Над комплексными числами гипербола и эллипс - одно и то же.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group