Окружность, вписанная в угол

[Sunny]

Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей!

Известны координаты точек A, B, C, D. Нужно найти радиус R окружности, вписанной в угол DAB и проходящей через точку C, меньший из двух возможных решений.
Я пробовала решать по формулам аналитической геометрии: получить по координатам точек уравнения прямых DA и AB, от них перейти к уравнению биссектрисы угла, рассмотреть равенство OC = OE... Получились огромные квадратные уравнения - сейчас продолжаю их упрощать, но чувствую, что это не должно быть так сложно! Может быть, есть какие-то другие способы решения?

[Someone]

Уравнение биссектрисы не нужно, достаточно формулы расстояния от точки до прямой. Но, боюсь, получится та же система уравнений.

[TOTAL]

Предлагаю план.
1) Найдите центр вписанной окружности единичного радиуса (наплюйте пока на т. C)
2) Найдите точку пересечения C' этой окружности с прямой AC
3) Искомым радиусом будет отношение AC/AC'

[Алексей К.]

Sunny писал(а):

Я пробовала решать по формулам аналитической геометрии...
...но чувствую, что это не должно быть так сложно!

По формулам ан. геом. это не сложно, а громоздко, потому что система координат не подобрана под задачу. Расположив точку A в начале координат, прямые AD и AB --- симметрично относительно оси абсцисс, каждая под углом $\alpha$, Вы получите простое описание всего семейства окружностей, вписанных в угол:

$$ \left(x-\frac{R}{\cos\alpha}\right)^2+y^2=R^2\qquad (x_0=\frac{R}{\cos\alpha},y_0=0\mbox{~--- координаты центра}). $$

Чисто подставив в уравнение семейства координаты $(x,y)$ точки $C$, разумеется, тоже преобразованные, найдёте радиус из квадратного уравнения. Вся громоздкость уйдёт в пересчёт преобразований системы координат. Т.е. не уйдёт, а перейдёт, т.е. останется...
Искомая величина (радиус) не зависит от системы координат, поэтому лучше испробовать методы типа предложенного TOTALом.

[bot]

Совсем тупо, но естественно:
На лучах AB и АС найдём точки B' и D' равноудалённые от точки A, например просто нормируем вектора AB, AD и сдвигаем точку А в направлении полученных векторов.
Усреднив координаты точек B' и D', получим точку, лежащую на биссектрисе. Отсюда получим уравнение биссектрисы в параметрической форме: x=a+bt, y=c+dt. При некотором t точка (a+bt, c+dt) - центр искомой окружности. Имея уравнение прямой AB вычисляем квадрат расстояния от центра до этой прямой - это квадрат радиуса. Приравниваем его к квадрату расстояния от (a+bt, c+dt) до C. Итого - квадратное уравнение относительно t.

[незваный гость]

По моему, всё очень технически.

1) Переводим начало координат в $A$.

2) разворачиваем ось $X$ на биссектрису (пусть $\angle DAB = 2 \beta$).

3) Тогда $O$ лежит на оси $X$. Если её координаты $(\lambda, 0)$, то $OF = \lambda \sin \beta$. Если $C(x,y)$, то имеем уравнение $(x-\lambda)^2+y^2 = ( \lambda \sin \beta)^2$. Его корни $\lambda = \frac{x \pm \sqrt{x^2 \sin^2\beta - y^2\cos^2 \beta}}{\cos^2 \beta}$? и, соответственно, радиус $R = \sin \beta \frac{x \pm \sqrt{x^2 \sin^2\beta - y^2\cos^2 \beta}}{\cos^2 \beta}$.

P.S. мне очень подозрительно выражение под корнем. Оно должно иметь какой-то геометрический смысл, сразу не пойму. Уж не произведение ли это расстояний от $C$ до прямых $AB$ и $AD$?! А ить правда, оно.

P.P.S. прав был TOTAL

[Sunny]

Большое спасибо за помощь! Вы мне очень помогли!
Задачу сдала, использовала способ, предложенный TOTALом - спасибо! Буду иметь в виду эти приемы, когда придется решать что-нибудь похожее: это намного быстрее и удобнее, чем мои уравнения!