наблюдатель и изменение гравитационного поля

[upgrade]

Рядом с наблюдателем находится массивное тело, наблюдатель может только измерять его гравитационное поле.
Если это поле начинает изменяться, может ли наблюдатель определить причину изменения - тело удаляется/приближается или тело теряет/набирает массу? Или для наблюдателя потеря массы телом эквивалентна увеличению расстояния между ними, а увеличение массы - уменьшению расстояния?
$\frac{M_G_1}{M_G_0}=(\frac{R_0}{R_1})^2$
т.е. можно ли изменение расстояния заменять изменением массы.

(вывод отношения)

$E_1-E_0=(M_G_1-M_G_0)\frac{G}{R_0^2}$
$E_1-E_0=GM_G_0(\frac{1}{R_1^2}-\frac{1}{R_0^2})$
$(M_G_1-M_G_0)\frac{1}{R_0^2}=M_G_0(\frac{R_0^2-R_1^2}{R_1^2 R_0^2})$
$\frac{M_G_1-M_G_0}{M_G_0}=R_0^2(\frac{R_0^2-R_1^2}{R_1^2 R_0^2})$
$\frac{M_G_1-M_G_0}{M_G_0}=\frac{R_0^2-R_1^2}{R_1^2}$
$\frac{M_G_1}{M_G_0}-1=\frac{R_0^2}{R_1^2}-1$
$\frac{M_G_1}{M_G_0}=(\frac{R_0}{R_1})^2$

[Munin]

Весь вопрос в том, насколько крупный наблюдатель, или что то же самое, что понимается под "измерять гравитационное поле".

Если подразумевается измерение $\mathbf{g}=-\dfrac{GM}{R^3}\mathbf{R}$ в одной точке, то наблюдатель не сможет обнаружить разницу между этими двумя ситуациями.

Если же наблюдатель может измерить разницу между $\mathbf{g}$ в соседних точках (это называется приливные силы, потому что именно эта величина обеспечивает приливы на Земле под влиянием гравитационных полей Луны и Солнца), то тогда разницу обнаружить возможно. При увеличении массы, приливные силы будут расти пропорционально $\mathbf{g},$ а при приближении массивного тела - быстрее.

-- 11.12.2015 15:54:23 --

Если в лаборатории наболюдателя можно разнести две точки измерения на расстояние $D,$ то приливные силы будут по порядку величины в $R/D$ раз меньше, чем обычная гравитационная сила. Например, на поверхности Земли потребуется измерение с точностью примерно $10^{-7}.$

[upgrade]

Вопрос вызван желанием описать движение двух взаимодействующих гравитационно точек $A$ и $B$ в трехмерной системе координат следующим образом:

Если точки находятся на одном расстоянии от плоскости $XOY$, то проекция расстояния между ними на эту плоскость равна расстоянию между ними, соответственно, сила гравитационного притяжения равна ее проекции на эту плоскость, а координаты проекций точек в плоскости $XOY$ через некоторое время можно узнавать по известному закону.
Если одна из точек (допустим, $B$) находится дальше от плоскости, чем другая, то проекция расстояния между точками не равна расстоянию между ними, соответственно, проекция силы притяжения не равна силе притяжения между точками.
А можно ли применять все тот же известный закон для определения координат проекций точек на плоскость $XOY$, но с уменьшенной массой точки $B$ для определения проекции силы гравитационного притяжения на плоскость $XOY$?
То есть допустить, что точка $B$ не смещается относительно плоскости (не смещается по оси $OZ$), а изменяет свою массу (смещение точки $B$ по оси $Z$ эквивалентно изменению массы точки $B$).
По приливным силам в этом отношении не могу ничего сказать.

[Pphantom]

upgrade в сообщении #1081414 писал(а):

Если точки находятся на одном расстоянии от плоскости $XOY$, то проекция расстояния между ними на эту плоскость равна расстоянию между ними,

Пусть точки расположены симметрично относительно плоскости...

Ну и "проекция расстояния" - это как-то нехорошо.

[Munin]

upgrade в сообщении #1081414 писал(а):

А можно ли применять все тот же известный закон для определения координат проекций точек на плоскость $XOY$, но с уменьшенной массой точки $B$ для определения проекции силы гравитационного притяжения на плоскость $XOY$?

Нет, нельзя.

Это известная астрономическая задача. Допустим, мы наблюдаем двойную звезду. Её компоненты обращаются вокруг друг друга по эллипсам. Это плоское движение: орбита каждой компоненты лежит в плоскости (для обеих - в одной и той же). Движение следует законам Кеплера: эллипс, в фокусе которого - общий центр масс, ну и так далее.

Теперь вопрос такой: мы наблюдаем эту двойную звезду в телескоп. То есть, видим только смещение компонент в картинной плоскости, а не вдоль луча зрения. Будем ли мы теперь видеть в картинной плоскости опять же кеплеровское движение?

Ответ: нет. Дело в том, что эллипс в пространстве - проецируется на эллипс в картинной плоскости. Но это касается только общей формы эллипса. "Особые точки" эллипса проецируются неправильно. Фокусы проецируются не в фокусы. Большие и малые оси - в наклонные оси. Перицентры и апоцентры орбит - в чёрт знает что. А это значит, что:
- эллипсы будут смещены между собой (напомню, что правильные кеплеровские эллипсы лежат своими большими осями на одной прямой);
- движение компонент по времени будет выглядеть дико: в момент наибольшего сближения в картинной плоскости, скорость в картинной плоскости не будет наибольшей, а будет наибольшей в какой-то другой момент. И то же самое для наибольшего удаления и наименьшей скорости.

В принципе, кажется, наблюдая такое движение, можно даже восстановить угол наклона истинной плоскости движения к картинной плоскости. Но тут я не уверен.

Можете почитать книги по небесной механике, от популярных до специальных.

[upgrade]

Munin в сообщении #1081419 писал(а):

Будем ли мы теперь видеть в картинной плоскости опять же кеплеровское движение?

Так от Кеплеровского описания и пытаемся уйти.
Ищем зависимости не для расстояний на плоскости, а для масс точек.
Вместо фиксирования "компоненты" $m_1 m_2$ - предположения о том, что это всегда одно и тоже умножение первой степени масс точек, независимо от расстояния между ними, фиксируем "компоненту" расстояния $\frac{1}{r^2}$ - полагая, что в формуле $F=G\frac{m_1 m_2}{r^2}$ постоянно отношение - $1/r^2$ (в том числе в любых проекциях куда-либо), а вот компонент $m_1 m_2$ может меняется.
Если скорость сближения уменьшается по мере приближения точек друг к другу, значит это масса уменьшается у обеих точек, а закон обратных квадратов все тот же. Поскольку у масс не квадраты в отличие от расстояний, такое представление может оказаться "легче". Затем, получив закон изменения массы для какой-либо системы, восстанавливаем его до расстояния сделав соответствующие замены, чтобы массы и их произведение не менялось.
П.С.
хотя с другой стороны $r_1 r_2$ отличается от $m_1 m_2$ только тем, что $r_1=r_2$ всегда (расстояние не зависит от того с какого конца мы его начинаем измерять), поэтому смысл в таких манипуляциях разве что в том, что масса в числителе.
$\frac{F}{G}=\frac{m_1}{r_1} \frac{m_2}{r_2}$

[Munin]

upgrade в сообщении #1082341 писал(а):

полагая, что в формуле $F=G\frac{m_1 m_2}{r^2}$ постоянно отношение - $1/r^2$ (в том числе в любых проекциях куда-либо), а вот компонент $m_1 m_2$ может меняется.

И в каком смысле такое может быть?

upgrade в сообщении #1082341 писал(а):

Если скорость сближения уменьшается по мере приближения точек друг к другу, значит это масса уменьшается у обеих точек, а закон обратных квадратов все тот же.

Законы Ньютона и Кеплера обеспечивают тот же результат и при постоянной массе, и при постоянном законе обратных квадратов (на ближней половине эллипса).

[upgrade]

Munin в сообщении #1082568 писал(а):

И в каком смысле такое может быть?

В смысле проекции масс на систему координат. Если проецируется расстояние между точками с соответствующими преобразованиями, чего бы и массу тоже не отпроецировать - с соответствующими ей преобразованиями.

Например, истинное ускорение двух, сближающихся по прямой точек $10\frac{\text{м}}{\text{с}^2}$, в проекции на ось под углом $60$ градусов это $5\frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.
Положим, что массы у точек одинаковые (то есть в числителе можно писать просто квадрат массы).
Тогда $5\frac{\text{м}}{\text{с}^2}$ можно получить двумя путями:
1. умножая на косинус изменение истинного расстояния (полагая, что масса на "проекции" истинная)
$a=\frac{2 S \cos{60}}{t^2}$;

2. полагая, что проекция расстояния - есть расстояние истинное, а вот масса точек - это косинус истинной массы
$a=G\frac{m\cos{60}}{r^2}$.

[arseniiv]

upgrade в сообщении #1082635 писал(а):

В смысле проекции масс на систему координат. Если проецируется расстояние между точками с соответствующими преобразованиями, чего бы и массу тоже не отпроецировать - с соответствующими ей преобразованиями.

Тогда надо теорию с нуля писать, а не заменять один кусок в уже работающей, от которого она сломается. Масса — скаляр. У векторов перемещения компоненты преобразуются, единственная компонента массы не преобразуется.

[Munin]

upgrade в сообщении #1082635 писал(а):

В смысле проекции масс на систему координат.

Простите, а что такое проекция массы на систему координат?

В общем, поставьте внятно задачу. Пока вас понять невозможно, и помочь вам - тоже. А описание Кеплера всех устраивает.

[upgrade]

Munin в сообщении #1082751 писал(а):

Простите, а что такое проекция массы на систему координат?

за два дня я набрался смелости и сообщаю:
это когда масса изменяется таким образом, что закон изменения проекции расстояния на ось системы координат остается неизменным.

[arseniiv]

upgrade в сообщении #1083213 писал(а):

таким образом, что закон изменения проекции расстояния на ось системы координат остается неизменным

Сначала показалось, что я что-то понял, но потом понял, что не понял. Проекция вектора на ось зависит только от модуля вектора, но не от угла между им и осью? Или расстояние не является модулем определённого вектора? Или что-то ещё?

-- Пт дек 18, 2015 16:22:01 --

Просто законы природы, даже такие мелкие, всегда «неизменны» в каком-то смысле.

[upgrade]

я сейчас рисовать буду, это время займет.

[Munin]

upgrade в сообщении #1083213 писал(а):

за два дня я набрался смелости и сообщаю:
это когда масса изменяется таким образом, что закон изменения проекции расстояния на ось системы координат остается неизменным.

Давайте вы наберётесь смелости, и изложите всё не обрывками, а последовательно.

[upgrade]

$\begin{tikzpicture} \draw[very thick, black] (0, 0) -- (0, 3.75); \draw[thick, black] (-0.05, 0.25) -- (0.05, 0.25) \draw[thick, black] (-0.05, 0.5) -- (0.05, 0.5) \draw[thick, black] (-0.05, 0.75) -- (0.05, 0.75) \draw[thick, black] (-0.05, 1.0) -- (0.05, 1.0) \draw[thick, black] (-0.05, 1.25) -- (0.05, 1.25) \draw[thick, black] (-0.05, 1.5) -- (0.05, 1.5) \draw[thick, black] (-0.05, 1.75) -- (0.05, 1.75) \draw[thick, black] (-0.05, 2.0) -- (0.05, 2.00) \draw[thick, black] (-0.05, 2.25) -- (0.05, 2.25) \draw[thick, black] (-0.05, 2.5) -- (0.05, 2.5) \draw[thick, black] (-0.05, 2.75) -- (0.05, 2.75) \draw[thick, black] (-0.05, 3.0) -- (0.05, 3.0) \draw[thick, black] (-0.05, 3.25) -- (0.05, 3.25) \draw[thick, black] (-0.05, 3.5) -- (0.05, 3.5) \draw[very thick, black] (0, 0) -- (5, 0); \draw[thick, black] (0.25, -0.05) -- (0.25, 0.05) \draw[thick, black] (0.5, -0.05) -- (0.5, 0.05) \draw[thick, black] (0.75, -0.05) -- (0.75, 0.05) \draw[thick, black] (1.0, -0.05) -- (1.0, 0.05) \draw[thick, black] (1.25, -0.05) -- (1.25, 0.05) \draw[thick, black] (1.5, -0.05) -- (1.5, 0.05) \draw[thick, black] (1.75, -0.05) -- (1.75, 0.05) \draw[thick, black] (2.0, -0.05) -- (2.0, 0.05) \draw[thick, black] (2.25, -0.05) -- (2.25, 0.05) \draw[thick, black] (2.5, -0.05) -- (2.5, 0.05) \draw[thick, black] (2.75, -0.05) -- (2.75, 0.05) \draw[thick, black] (3.0, -0.05) -- (3.0, 0.05) \draw[thick, black] (3.25, -0.05) -- (3.25, 0.05) \draw[thick, black] (3.5, -0.05) -- (3.5, 0.05) \draw[thick, black] (3.75, -0.05) -- (3.75, 0.05) \draw[thick, black] (4.0, -0.05) -- (4.0, 0.05) \draw[thick, black] (4.25, -0.05) -- (4.25, 0.05) \draw[thick, black] (4.5, -0.05) -- (4.5, 0.05) \draw[thick, black] (4.75, -0.05) -- (4.75, 0.05) \draw [very thick, red] (4,3) arc (360:0:0.25); \node at (4.25, 3.25) {$B$}; \draw [very thick, black] (2,2) arc (360:0:0.25); \node[below] at (1.25, 2.5) {$A$}; \draw [very thick, red] (3.875,0) arc (360:0:0.125); \node at (3.875, -0.5) {$B_p$}; \draw [very thick, black] (1.875,0) arc (360:0:0.125); \node[below] at (1.875, -0.25) {$A_p$}; \draw[dashed] (3.75, 0) -- (3.75, 3) \draw[dashed] (1.75, 0) -- (1.75, 2) \draw[-] (1.75,2)--(3.75,3); \draw[-] (1.75,2)--(3.75,2); \draw[<->] (2.5,2.35) arc (30:2:0.75); \node at (2.75,2.25) {$\alpha$}; \node[below] at (2.75, 3) {$r$}; \node[below] at (2.75, 2) {$r_p$}; \end{tikzpicture}$

точка $A$ ускоренно двигается к точке $B$ под действием притяжения точки $B$ (массы точек одинаковы)
найти ускорение проекции точки $A$ (это точка $A_p$) по направлению к проекции точки $B$ (это точка $B_p$)