применимость УЗБЧ

[2serg2]

Здравствуйте, не могу разобраться:
Пусть $\{\xi_i\}_{i=1}^{\infty}$ - последовательность независимых в совокупности, одинаково распределенных случайных величин с математическим ожиданием $a$.

$\eta_n=\frac{\sum\limits_{k=1}^{n} \xi_k}{n}$. Доказать, что к последовательности $\{\eta_n\}_{n=1}^{\infty}$ применим УЗБЧ

$\text{M}\eta_n = \frac{\sum\limits_{k=1}^{n}\text{M}\xi_k}{n} = a$

Для применимости УЗБЧ необходима независимоть случайных величин в совокупности. В нашем случае ее вроде бы нет, действительно:

$\text{cov}(\eta_1;\eta_2)=\text{M}((\eta_1-\text{M}\eta_1) (\eta_2\text{M}\eta_2)) = \text{M}\eta_1\eta_2-\text{M} \eta_1 \text{M} \eta_2 = \frac{1}{2}\text{M}\xi_1^2-\frac{1}{2}\text{M}\xi_1\xi_2$

Эта величина не обязана равняться нулю. Получается, что в условии задачи ошибка или независимоть величин не обязательна?

[--mS--]

Вас просят доказать, что выполнено утверждение теоремы, а не её условия.

[2serg2]

А как это можно сделать?

$S_n = \frac{\sum\limits_{k=1}^{n}\eta_k}{n} = \frac{1}{n}(\xi_1+\frac{\xi_1+\xi_2}{2}+...+\frac{\xi_1+\xi_2+...+\xi_n}{n})$

Нужно показать сходимость почти наверное к $a$. Как-то использовать сходимость средних арифметических?

[--mS--]

Наверное. В любом случае именно в этом и состоит Ваша задача - понять, как использовать УЗБЧ для исходной последовательности, чтобы доказать искомое утверждение.

[2serg2]

Ну увот я и не могу придумать, не могли бы вы подсказать?

[--mS--]

Пока что Вы и не начинали. Изложите собственные содержательные попытки решения, и Вам обязательно помогут.