Положительный интеграл комплекснозначной функции

[ProPupil]

Пусть $E$ - измеримое множество и пусть $k: E \times E \to \mathbb C$ измеримая и интегрируемая по Лебегу (как функция двух переменных) функция, которая удовлетворяет следующему свойству:

$$\forall n \in \mathbb N \quad \forall c_1,\dots,c_n \in \mathbb C, t_1,\dots,t_n \in E \quad \sum\limits_{i,j=1}^n c_i \overline{c_j} k(t_i,t_j) \geq 0.$$

Докажите, что

$$\iint\limits_{E \times E} k(x,y)\,dx\,dy \geq 0$$

Правка: пример функции, которая не является всюду вещественнозначной и удовлетворяет вышеописанным условиям: $E = (0,1), k(x,y)=e^{i(x-y)}$

[ProPupil]

Доказательство.

Если $k$ - измеримая функция двух переменных, то функция одной переменной $t \to k(t,t)$ измерима. Поэтому существует такое измеримое множество $E_0$ конечной меры, такое, что функция $t \to k(t,t)$ ограничена на $E_0$.

Из условия, наложенного на функцию, следует, что

$$\forall t_1,\dots,t_2 \in E \sum\limits_{i=1}^n k(t_i,t_i) + \sum\limits_{i \ne j}k(t_i,t_j)\geq 0 \forall n \geq 2$$

Интегрируя обе части неравенства по $n$-кратному произведению мер Лебега, получаем

$$n\operatorname{mes}^{n-1} E_0\int\limits_{E_0} k(t,t)\,dt + n(n-1)\operatorname{mes}^{n-2} E_0 \int\limits_{E_0} \int\limits_{E_0} k(s,t)\,ds\,dt$$

Отсюда, в силу произвольности $n$ находим, что

$$\int\limits_{E_0} \int\limits_{E_0} k(s,t)\,ds\,dt \geq 0$$

Теперь требуемое соотношение следует из того, что $E$ можно представить в виде объединения возрастающей последовательности измеримых множеств конечной меры, на каждом из которых функция $t \to k(t,t)$ ограничена.