Поверхностный интеграл, плоскость+эллиптический цилиндр

[ChymeNik]

Нужно решить интеграл
$\oint\limits_{С}^{}(z-x)dx+(x-y)dy+3(y-z)dz$
Область $C$: пересечение эллиптического цилиндра $x^{2}+4y^{2}=4$ и плоскости $6x+3y+2z=6$
$\vec{n}(\frac{6}{7},\frac{3}{7},\frac{2}{7})$
В итоге, после применения формулы Стокса:

$$\frac{11}{7}\iint\limits_{S}^{}dS$$

Что делать дальше?
Вычислить по формуле
$\iint\limits_{S}^{}dS = \iint\limits_{S}^{}\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^{2}+(\frac{\partial z}{\partial y})^{2}}dxdy$
Не получается: $z $ после подстановки в уравнение плоскости $y $ из уравнения цилиндра достаточно сложное: $z=\frac{3}{4}(\sqrt{4-x^{2}}-4x+4)$
Заранее спасибо за помощь!

[Brukvalub]

1. Это не поверхностный, а криволинейный интеграл!
2.Параметризуйте эллипс $x^{2}+4y^{2}=4$ , положив $x=2\cos t , y=\sin t$ , после чего подставьте эту параметризацию в уравнение плоскости. Получится параметризация контура, далее вычисляйте (ИНТЕГРАЛ НЕЛЬЗЯ РЕШИТЬ!!!) интеграл прямо по определению, без дедушки Стокса.

[ChymeNik]

Brukvalub в сообщении #1080997 писал(а):

1. Это не поверхностный, а криволинейный интеграл!
2.Параметризуйте эллипс $x^{2}+4y^{2}=4$ , положив $x=2\cos t , y=\sin t$ , после чего подставьте эту параметризацию в уравнение плоскости. Получится параметризация контура, далее вычисляйте (ИНТЕГРАЛ НЕЛЬЗЯ РЕШИТЬ!!!) интеграл прямо по определению, без дедушки Стокса.

Поверхностный получается после применения формулы Стокса; нужно вычислить только таким способом

[Brukvalub]

ChymeNik в сообщении #1080991 писал(а):

Не получается: $z $ после подстановки в уравнение плоскости $y $ из уравнения цилиндра достаточно сложное: $z=\frac{3}{4}(\sqrt{4-x^{2}}-4x+4)$

Чушь какая-то, зачем подставлять что-то в плоскость из уравнения цилиндра, если речь идет о площади куска плоскости, вырезанного цилиндром.

[ChymeNik]

Brukvalub в сообщении #1081000 писал(а):

ChymeNik в сообщении #1080991 писал(а):

Не получается: $z $ после подстановки в уравнение плоскости $y $ из уравнения цилиндра достаточно сложное: $z=\frac{3}{4}(\sqrt{4-x^{2}}-4x+4)$

Чушь какая-то, зачем подставлять что-то в плоскость из уравнения цилиндра, если речь идет о площади куска плоскости, вырезанного цилиндром.

Как тогда найти уравнение вырезанного куска плоскости?

[Brukvalub]

ChymeNik в сообщении #1081002 писал(а):

Как тогда найти уравнение вырезанного куска плоскости?

Разве вырезанный кусок плоскости перестал быть куском плоскости?

[ChymeNik]

Brukvalub в сообщении #1081007 писал(а):

ChymeNik в сообщении #1081002 писал(а):

Как тогда найти уравнение вырезанного куска плоскости?

Разве вырезанный кусок плоскости перестал быть куском плоскости?

Точно, что-то я туплю. Спасибо!
Получается, из уравнения цилиндра мы берем только границы изменения переменных.

[Brukvalub]

ChymeNik в сообщении #1081010 писал(а):

Получается, из уравнения цилиндра мы берем только границы изменения переменных.

Да.