Неровность

[maciek]

Какие малейшее действительнуе Число a у которего для произвольных действительнух чисол x, y, z \ge a и x + y + z = 3, заходят:
x^3 + y^3 + z^3 \ge 3

[нг]

Попробую перевести, как понял:

Неравенство:

Найти наименьшее действительное $a$, для которого для произвольных действительных чисел $x, y, z \ge a$ и $x + y + z = 3$, следует:
$x^3 + y^3 + z^3 \ge 3$

[незваный гость]

Осмелюсь высказать предположение: $a = -5$.

[maciek]

я знаю, что a = -5 (я отгадл), только я не умею доказать тего

[PAV]

Попробуйте из уравнения выразить $z$ через $x,y$ и подставить в левую часть. Третьи степени сократятся и останется полином второй степени.

[maciek]

я не понимаю что потом, дайтие мне пожауйста целую развязку...

[Brukvalub]

PAV писал(а):

Третьи степени сократятся и останется полином второй степени.

К сожалению, не все члены третьей степени сократятся.

[maciek]

все члены третьей степени сократятся , но что потом?

[Brukvalub]

Напишите, что у Вас получилось после подстановки и сокращения.

[maciek]

у меня это:
$(x+y) \cdot (3-y) \cdot (x-3) \ge -8$

[Brukvalub]

maciek писал(а):

все члены третьей степени сократятся

maciek писал(а):

у меня это:
$(x+y) \cdot (3-y) \cdot (x-3) \ge -8$

Вам не кажется, что Ваше первое утверждение противоречит второму?

[maciek]

я понимаю как "все члены третьей степени сократятся" это:
$x^3 + y^3 + ... - x^3 - y^3$

а какия у Вас мысль, что потом $(x+y) \cdot (3-y) \cdot (x-3) \ge -8$ ?

[Brukvalub]

По определению степени одночлена, например, член

\[xy^2 \]

- третьей степени. В Вашем выражении есть два члена третьей степени.

[maciek]

теперь я сочетаюсь с Вами, а у Вас есть ли мысль что потом?

[незваный гость]

Пусть $x \le y \le z$. Тогда:

1) $x \le 1$

2) Можно ввести новую неотрицательную переменную $u$ так, что $y = \frac{3-x-u}{2}$, $z = \frac{3-x+u}{2}$. Условие минимальности $x$ перейдет в ограничение $u \le 3-3x$

3) Подставим эти выражения в сумму кубов, и получим $\frac34 (9 -9x+3x^2+x^3)+\frac34(3-x)u^2$

4) Коэффициент при $u^2$ положителен, а значит минимум достигается в 0 ($y = z$).

5) Имеем неравенство $\frac34(9 -9x+3x^2+x^3) \ge 3$. Его решение $x \ge -5$, а значит, и ответ $a = -5$.

P.S. Этот подход обобщается очевидным образом и на произвольное количество кубов (и, думаю, не только их).