2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Самосопряженный интегральный оператор Гильберта-Шмидта в L2
Сообщение08.12.2015, 20:23 


03/05/15
16
Интегральный оператор Гильберта-Шмидта Ax(t)=\int\limits_{E}^{} K(t,s)x(s) ds в пространстве $L_2(E)$, где $E\in\mathbb{R}^d$ - ограниченное множество, а $d\in\mathbb{N}$, является самосопряженным тогда и только тогда, когда $K(t,s)=\overline{K(s,t)}$ для п. в. $(t,s) \in E^2$. Интересует доказательство утверждения, что из того, что оператор является самосопряженным, следует, что $K(t,s)=\overline{K(s,t)}$ для п. в. $(t,s) \in E^2$.
Используя определение сопряженного оператора и самосопряженного оператора имеем равенство: $(x,(A-A^*)y)=0$ для $\forall$ $x,y \in L_2(E)$. Далее, переписываем равенство в виде интеграла и, используя представление оператора, сопряженного к интегральному оператору Гильберта-Шмидта, равенство примет вид: $\int\limits_{E}^{}x(t)\overline{\int\limits_{E}^{}(K(t,s)-\overline{K(s,t)})y(s)ds}dt=0$.
Вопросы: равенство $\int\limits_{E}^{}(K(t,s)-\overline{K(s,t)})y(s)ds=0$ для п.в. $t \in E$ и $K(t,s)-\overline{K(s,t)}=0$ для п.в. $(t,s) \in E^2$ справедливы из-за того, что функции $x,y \in L_2(E)$ - любые? И если нет, то в чем я ошибаюсь и откуда следует, что $K(t,s)=\overline{K(s,t)}$ для п. в. $(t,s) \in E^2$, если оператор самосопряженный?

 Профиль  
                  
 
 Re: Самосопряженный интегральный оператор Гильберта-Шмидта в L2
Сообщение08.12.2015, 20:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
IvMig в сообщении #1080709 писал(а):
откуда следует, что $K(t,s)=\overline{K(s,t)}$ для п. в. $(t,s) \in E^2$, если оператор самосопряженный?

Если в равенстве $\int\limits_{E}^{}x(t)\overline{\int\limits_{E}^{}(K(t,s)-\overline{K(s,t)})y(s)ds}dt=0$ правильно подобрать функции $x(t)$ и $y(s)$, то слева получится интеграл от неотрицательной функции, откуда все и вытечет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Самосопряженный интегральный оператор Гильберта-Шмидта в L2
Сообщение09.12.2015, 07:32 


03/05/15
16
Brukvalub в сообщении #1080721 писал(а):
IvMig в сообщении #1080709 писал(а):
откуда следует, что $K(t,s)=\overline{K(s,t)}$ для п. в. $(t,s) \in E^2$, если оператор самосопряженный?

Если в равенстве $\int\limits_{E}^{}x(t)\overline{\int\limits_{E}^{}(K(t,s)-\overline{K(s,t)})y(s)ds}dt=0$ правильно подобрать функции $x(t)$ и $y(s)$, то слева получится интеграл от неотрицательной функции, откуда все и вытечет.

После того, как мы придумали $x(t)$, мы имеем право фиксировать $t \in E$? Трудно придумать функцию от одной переменной, когда разность ядер зависит от двух переменных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Самосопряженный интегральный оператор Гильберта-Шмидта в L2
Сообщение09.12.2015, 16:46 


03/05/15
16
Я понял, какие функции надо подставить. Надо выбрать их так, чтобы получались квадраты модулей под соответствующими интегралами. В первом случае все легко получается, а во втором надо дополнительно использовать теорему Фубини, чтобы получить норму в пространстве $L_2(E^2)$, а она равна нулю, откуда все и следует. Вопрос закрыт)

 Профиль  
                  
 
 Re: Самосопряженный интегральный оператор Гильберта-Шмидта в L2
Сообщение16.12.2015, 15:56 


03/05/15
16
Я малограмотен :facepalm: : я выбрал $x=(A-A^*)y$, откуда следует что $\int\limits_{E}^{}(K(t,s)-\overline{K(s,t)})y(s)ds=0$ для почти всех $t\in E$. Затем выбрал $y(s)=\int\limits_{E}^{}\overline{(K(t,s)-\overline{K(s,t)})}dt$ и использовал теорему Фубини, чтобы получить квадрат под интегралом на $E^2$. А это не верно. Я подумал, что если показать, что система $\lbrace f_{i}\overline{f_{j}}\rbrace\limits_{i,j=1}^{\infty}$ является ортонормированным базисом в $L_{2}(E^2)$, то вывод очевиден (здесь функции $\lbrace f_{i}\rbrace\limits_{i=1}^{\infty}$ образуют базис в $L_{2}(E)$). То, что система является ортонормированной, это видно, если использовать теорему Фубини. При доказательстве того, что эта система - базис, воспользовался определением замкнутой системы: если $F\in L_{2}(E^2)$ такая, что $\forall i,j$ $F\perp f_{i,j}$, то $F(t,s)=0$ для почти всех $(t,s)\in E$. Но вот беда: из скалярного произведения в $L_{2}(E^2)$ вытекает, что $\int\limits_{E}^{}F(t,s)f_{i}(s)ds=0$ для почти всех $t\in E$. Но вот что дальше, не могу сообразить и правильный ли я подход выбрал. Помогите разобраться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Самосопряженный интегральный оператор Гильберта-Шмидта в L2
Сообщение16.12.2015, 22:42 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
Brukvalub в сообщении #1080721 писал(а):
Если в равенстве $\int\limits_{E}^{}x(t)\overline{\int\limits_{E}^{}(K(x,)-\overline{K(s,t)})y(s)ds}dt=0$ правильно подобрать функции $x(t)$ и $y(s)$, то слева получится интеграл от неотрицательной функции, откуда все и вытечет.
Я верил, что эта подсказка сработает и ТС решит. Попробую конкретнее, как я ее понял. Пусть в какой-то точке $(x_0,y_0)$ $(K(x,y)-\overline{K(y,x)})=re^{i\varphi},r>0$ .Эта функция непрерывна, есть квадратная окрестность, в которой ее аргумент отклоняется от $\varphi$ менее чем на $\frac{\pi}2$. Возьмем действительную функцию $f(x)>0$ в проекции этой окрестности, а вне равную 0, и действительную $g(y)e^{-i\varphi}>0$ в другой проекции этой окрестности, а вне равную 0. Тогда интеграл получится от выражения с положительной в окрестности /неотрицательной в области действительной частью и не может быть равен 0

 Профиль  
                  
 
 Re: Самосопряженный интегральный оператор Гильберта-Шмидта в L2
Сообщение23.12.2015, 20:36 


03/05/15
16
Разобрался: $\int\limits_{E}^{}F(t,s)f_{i}(s)ds=0$ для почти всех $t\in E$, то есть для $t\in E_{i}$, где $E_{i}\bigcup E_{0i}=E$, $mE_{i}=mE$,$mE_{0i}=0$. Если брать $t\in \bigcap\limits_{i=1}^{\infty}E_{i}$, то в силу замкнутости базиса в $L_{2}(E)$ имеем: $F(t,s)=0$ для почти всех $s\in E$. Но $m\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}E_{0i}=0$, значит, $F(t,s)=0$ для почти всех $(s,t)\in E^{2}$. Далее очевидно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group