Самосопряженный интегральный оператор Гильберта-Шмидта в L2

[IvMig]

Интегральный оператор Гильберта-Шмидта Ax(t)=\int\limits_{E}^{} K(t,s)x(s) ds в пространстве $L_2(E)$, где $E\in\mathbb{R}^d$ - ограниченное множество, а $d\in\mathbb{N}$, является самосопряженным тогда и только тогда, когда $K(t,s)=\overline{K(s,t)}$ для п. в. $(t,s) \in E^2$. Интересует доказательство утверждения, что из того, что оператор является самосопряженным, следует, что $K(t,s)=\overline{K(s,t)}$ для п. в. $(t,s) \in E^2$.
Используя определение сопряженного оператора и самосопряженного оператора имеем равенство: $(x,(A-A^*)y)=0$ для $\forall$ $x,y \in L_2(E)$. Далее, переписываем равенство в виде интеграла и, используя представление оператора, сопряженного к интегральному оператору Гильберта-Шмидта, равенство примет вид: $\int\limits_{E}^{}x(t)\overline{\int\limits_{E}^{}(K(t,s)-\overline{K(s,t)})y(s)ds}dt=0$.
Вопросы: равенство $\int\limits_{E}^{}(K(t,s)-\overline{K(s,t)})y(s)ds=0$ для п.в. $t \in E$ и $K(t,s)-\overline{K(s,t)}=0$ для п.в. $(t,s) \in E^2$ справедливы из-за того, что функции $x,y \in L_2(E)$ - любые? И если нет, то в чем я ошибаюсь и откуда следует, что $K(t,s)=\overline{K(s,t)}$ для п. в. $(t,s) \in E^2$, если оператор самосопряженный?

[Brukvalub]

IvMig в сообщении #1080709 писал(а):

откуда следует, что $K(t,s)=\overline{K(s,t)}$ для п. в. $(t,s) \in E^2$, если оператор самосопряженный?

Если в равенстве $\int\limits_{E}^{}x(t)\overline{\int\limits_{E}^{}(K(t,s)-\overline{K(s,t)})y(s)ds}dt=0$ правильно подобрать функции $x(t)$ и $y(s)$, то слева получится интеграл от неотрицательной функции, откуда все и вытечет.

[IvMig]

Brukvalub в сообщении #1080721 писал(а):

IvMig в сообщении #1080709 писал(а):

откуда следует, что $K(t,s)=\overline{K(s,t)}$ для п. в. $(t,s) \in E^2$, если оператор самосопряженный?

Если в равенстве $\int\limits_{E}^{}x(t)\overline{\int\limits_{E}^{}(K(t,s)-\overline{K(s,t)})y(s)ds}dt=0$ правильно подобрать функции $x(t)$ и $y(s)$, то слева получится интеграл от неотрицательной функции, откуда все и вытечет.

После того, как мы придумали $x(t)$, мы имеем право фиксировать $t \in E$? Трудно придумать функцию от одной переменной, когда разность ядер зависит от двух переменных.

[IvMig]

Я понял, какие функции надо подставить. Надо выбрать их так, чтобы получались квадраты модулей под соответствующими интегралами. В первом случае все легко получается, а во втором надо дополнительно использовать теорему Фубини, чтобы получить норму в пространстве $L_2(E^2)$, а она равна нулю, откуда все и следует. Вопрос закрыт)

[IvMig]

Я малограмотен : я выбрал $x=(A-A^*)y$, откуда следует что $\int\limits_{E}^{}(K(t,s)-\overline{K(s,t)})y(s)ds=0$ для почти всех $t\in E$. Затем выбрал $y(s)=\int\limits_{E}^{}\overline{(K(t,s)-\overline{K(s,t)})}dt$ и использовал теорему Фубини, чтобы получить квадрат под интегралом на $E^2$. А это не верно. Я подумал, что если показать, что система $\lbrace f_{i}\overline{f_{j}}\rbrace\limits_{i,j=1}^{\infty}$ является ортонормированным базисом в $L_{2}(E^2)$, то вывод очевиден (здесь функции $\lbrace f_{i}\rbrace\limits_{i=1}^{\infty}$ образуют базис в $L_{2}(E)$). То, что система является ортонормированной, это видно, если использовать теорему Фубини. При доказательстве того, что эта система - базис, воспользовался определением замкнутой системы: если $F\in L_{2}(E^2)$ такая, что $\forall i,j$ $F\perp f_{i,j}$, то $F(t,s)=0$ для почти всех $(t,s)\in E$. Но вот беда: из скалярного произведения в $L_{2}(E^2)$ вытекает, что $\int\limits_{E}^{}F(t,s)f_{i}(s)ds=0$ для почти всех $t\in E$. Но вот что дальше, не могу сообразить и правильный ли я подход выбрал. Помогите разобраться.

[iancaple]

Brukvalub в сообщении #1080721 писал(а):

Если в равенстве $\int\limits_{E}^{}x(t)\overline{\int\limits_{E}^{}(K(x,)-\overline{K(s,t)})y(s)ds}dt=0$ правильно подобрать функции $x(t)$ и $y(s)$, то слева получится интеграл от неотрицательной функции, откуда все и вытечет.

Я верил, что эта подсказка сработает и ТС решит. Попробую конкретнее, как я ее понял. Пусть в какой-то точке $(x_0,y_0)$ $(K(x,y)-\overline{K(y,x)})=re^{i\varphi},r>0$ .Эта функция непрерывна, есть квадратная окрестность, в которой ее аргумент отклоняется от $\varphi$ менее чем на $\frac{\pi}2$. Возьмем действительную функцию $f(x)>0$ в проекции этой окрестности, а вне равную 0, и действительную $g(y)e^{-i\varphi}>0$ в другой проекции этой окрестности, а вне равную 0. Тогда интеграл получится от выражения с положительной в окрестности /неотрицательной в области действительной частью и не может быть равен 0

[IvMig]

Разобрался: $\int\limits_{E}^{}F(t,s)f_{i}(s)ds=0$ для почти всех $t\in E$, то есть для $t\in E_{i}$, где $E_{i}\bigcup E_{0i}=E$, $mE_{i}=mE$,$mE_{0i}=0$. Если брать $t\in \bigcap\limits_{i=1}^{\infty}E_{i}$, то в силу замкнутости базиса в $L_{2}(E)$ имеем: $F(t,s)=0$ для почти всех $s\in E$. Но $m\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}E_{0i}=0$, значит, $F(t,s)=0$ для почти всех $(s,t)\in E^{2}$. Далее очевидно.