Корни полинома от двух переменных с целыми коэффициентами

[DLL]

В случае полинома от одной переменной с целыми коэффициентами, рациональные корни следует искать среди частных делителей старшего коэффициента на делители свободного члена, взятых с разными знаками.

Есть ли качественно подобные результаты для полинома от двух переменных $P(x,y)$?
То есть речь идет про нахождение рациональных решений $(x,y)$ уравнения $P(x,y) = 0$ с целыми коэффициентами...

[Brukvalub]

DLL в сообщении #1080655 писал(а):

В случае полинома от одной переменной с целыми коэффициентами, рациональные корни следует искать среди частных делителей старшего коэффициента на делители свободного члена, взятых с разными знаками.

Это ложное утверждение.

[provincialka]

Вот например у уравнения $3x-7y=1$ есть решение $x= 5, y= 2$ ... Не говоря уж о $x= 12, y= 5$.Что-то с делимостью плоховато

[Vince Diesel]

DLL в сообщении #1080655 писал(а):

То есть речь идет про нахождение рациональных решений $(x,y)$ уравнения $P(x,y) = 0$ с целыми коэффициентами...

Так это же десятая проблема Гильберта, отрицательно решенная Матвеевичем.

[DLL]

Отлично. Спасибо!

Цитата:

Матвеевичем

P.S: видимо опечатка: Матиясевичем...

[Narn]

В книжке Манина и Панчишкина про теорему Матиясевича пишут вот что:

Цитата:

Таким образом, разрешимость в целых числах нераспозна­ваема уже для подходящего однопараметрического семейства
уравнений. Число неизвестных в нем и вообще коразмерность проекции, подразумеваемой в теореме 3.9, может быть сведено
до 9 (Ю. В. Матиясевич). Точный минимум неизвестен, хотя очень интересен.

Так что для двух неизвестных вопрос она не закрывает, кажется.

[DLL]

Очень любопытно. Если я правильно понял, то для случая двух переменных может оказаться, что задача существования целых решений алгоритмически разрешима...

[Brukvalub]

DLL в сообщении #1080916 писал(а):

Если я правильно понял, то для случая двух переменных может оказаться, что задача существования целых решений алгоритмически разрешима...

Вы бы сначала с алгоритмом для одного переменного разобрались..

[Vince Diesel]

DLL в сообщении #1080863 писал(а):

P.S: видимо опечатка: Матиясевичем...

Упс словарь браузера не знает фамилию Матиясевича, а Матвеевича знает. Исправил, не проверив.