Вычислить предел функции.

[Charlz_Klug]

Пожалуйста, проверьте решение:

Задача:
Вычислить предел функции:

$\lim\limits_{x \to 8} {(\frac{2x - 7}{x + 1})^\frac{1}{\sqrt[3]{x } - 2}}

Решение:
$\lim\limits_{x \to 8} {(\frac{2x - 7}{x + 1})^\frac{1}{\sqrt[3]{x } - 2}} = \lim\limits_{x \to 8} {(\frac{2x - 7}{x + 1})^\frac{\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 4}{(\sqrt[3]{x } - 2) (\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 4)}} = \lim\limits_{x \to 8} {(\frac{2x - 7}{x + 1})^\frac{\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 4}{x - 8}}$. Произведём замену $t = x - 8 \Rightarrow x = t + 8$. Тогда: $\lim\limits_{t \to 0}{(\frac{2(t + 8) - 7}{t + 8 + 1})^\frac{\sqrt[3]{(t + 8)^2} + 2 \sqrt[3]{t + 8} + 4}{t}} = \lim\limits_{t \to 0}{(\frac{2t+9}{t + 9})^\frac{\sqrt[3]{(t + 8)^2} + 2 \sqrt[3]{t + 8} + 4}{t}} = \lim\limits_{t \to 0}{(\frac{t+9}{t + 9} + \frac{t}{t+9})^\frac{\sqrt[3]{(t + 8)^2} + 2 \sqrt[3]{t + 8} + 4}{t}} = \lim\limits_{t \to 0}{(1 + \frac{1}{\frac{t+9}{t}})^\frac{\sqrt[3]{(t + 8)^2} + 2 \sqrt[3]{t + 8} + 4}{t}} = \lim\limits_{t \to 0}{(1 + \frac{1}{\frac{t+9}{t}})^\frac{(\sqrt[3]{(t + 8)^2} + 2 \sqrt[3]{t + 8} + 4)(t+9)}{t(t+9)}} = \lim\limits_{t \to 0}{(1 + \frac{1}{\frac{t+9}{t}})^{\frac{t+9}{t} \cdot \frac{\sqrt[3]{(t + 8)^2} + 2 \sqrt[3]{t + 8} + 4}{t+9}}} = \lim\limits_{t \to 0}{(1 + \frac{1}{\frac{t+9}{t}})^{\frac{t+9}{t} \cdot \lim\limits_{t \to 0}{\frac{\sqrt[3]{(t + 8)^2} + 2 \sqrt[3]{t + 8} + 4}{t+9}}}}$.

Здесь: $\lim\limits_{t \to 0}{(1 + \frac{1}{\frac{t+9}{t}})^{\frac{t+9}{t}}} = e$ по второму замечательному пределу. А

$\lim\limits_{t \to 0}{\frac{\sqrt[3]{(t + 8)^2} + 2 \sqrt[3]{t + 8} + 4}{t+9}} = \frac{\sqrt[3]{(0 + 8)^2} + 2 \sqrt[3]{0 + 8} + 4}{0+9} = \frac{\sqrt[3]{8^2} + 2 \sqrt[3]{8} + 4}{9} = \frac{4 + 2 \cdot 2 + 4}{9} = \frac{8 + 4}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$

Отсюда: $\lim\limits_{t \to 0}{(1 + \frac{1}{\frac{t+9}{t}})^{\frac{t+9}{t} \cdot \lim\limits_{t \to 0}{\frac{\sqrt[3]{(t + 8)^2} + 2 \sqrt[3]{t + 8} + 4}{t+9}}}} = e ^ \frac{4}{3}$.

Ответ:
$\lim\limits_{x \to 8} {(\frac{2x - 7}{x + 1})^\frac{1}{\sqrt[3]{x } - 2}} = e ^ \frac{4}{3}

[provincialka]

Вроде верно, но можно короче, если сразу показать, что $\lim\limits_{x\to a}f(x)^{g(x)}=(1^\infty)=e^A$, где $A=\lim\limits_{x\to a}g(x)(f(x)-1)$

[Charlz_Klug]

Спасибо!