Задача про коробки и шарики

[DewDrop]

Добрый вечер.
Условие задачи: Перед вами n непрозрачных не пронумерованных одинаковых коробок, в каждой из находится n шаров. В первой коробке 1 черный шар, остальные белые, во второй коробке 2 черных шара, остальные белые и т.д. В n-ой коробке все шары черные. Вы вытаскиваете шар из произвольно выбранной коробки, и он оказывается черным. Какова вероятность того, что второй вытащенный шар из этой же коробки будет черным.
Мое решение: : Я так понял, что задача на применение формулы полной вероятности.

$$ P(A) = \sum\limits_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i),$$

где $P(B_i) $ - вероятность того, что я вытащил первый шар с какой то конкретной урны. Она для всех одинакова и равна $\frac 1 n$. Вероятность $P(A|B_i)$ - вероятность вытащить черный шар из какой-нибудь коробки, считая что там уже на один черный шар меньше. В итоге получаем сумму вида $$ \frac {1}{n}(0 + \frac 1 {n-1} +\frac 2 {n-1} + ... + \frac {n-1} {n-1})$. Сумма в скобке находится через формулу арифметической прогрессии и равна $ \frac {n(n-1)} {2(n-1)} = \frac {n}{2} $ Конечный ответ $\frac{1}{2}$.
Правильно ли я решил?

[Geen]

Допустим $n=1$

[DewDrop]

Для n = 1 отдельный случай. P = 0.

[Null]

У вас условная вероятность. При условии что вы вытащили черный шар урны становятся не равновероятны.

[iancaple]

Есть способ без счета, подтверждающий ответ в посте 1.Предположим, шары уложены в квадрат. матрицу, столбцы это коробки, на диагонали и над ней -черные, под диагональю-белые. Мы вытащили черный. будем считать, что это диагональный, равновероятно, какой из диагональных. После этого второй будет либо выше диагонали (черный), либо ниже (белый), а в совокупности их поровну при $n>1$, и действительно ответ 0,5

[DewDrop]

iancaple, красивая интерпретация)

[--mS--]

Красивая, но неверная. Возьмите для проверки очевидный случай $n=2$ и прислушайтесь к совету Null.

[iancaple]

Действительно, при $n=2$ ответ $\frac 23$, надо было все по Байесу