Метод прогонки

[Sicker]

Объясните мне смысл метода прогонки для решения краевой задачи, если можно использовать метод стрельбы, и для линейных систем достаточно нескольких выстрелов, чтобы свести все к задаче Коши?

[Pphantom]

Sicker в сообщении #1080310 писал(а):

Объясните мне смысл метода прогонки для решения краевой задачи, если можно использовать метод стрельбы, и для линейных систем достаточно нескольких выстрелов, чтобы свести все к задаче Коши?

Во-первых, просто скорость. Во-вторых... Вы уверены, что нескольких выстрелов всегда будет достаточно?

[Sicker]

Pphantom
Если уравнение линейное, то да. Там же только цэшки определить.

[Pphantom]

Sicker в сообщении #1080323 писал(а):

Если уравнение линейное, то да. Там же только цэшки определить.

М-да? Ну попробуйте численно решить, например, такое уравнение:

$$ \frac{d^2 y}{dx^2} - 3\, \frac{dy}{dx}+ 2\,y=4\,e^{3x} $$

Граничные условия $y(0)=4$ и $y(10)=10$, решать надо методом стрельбы слева.

[amon]

Sicker,
почитайте: Ц. На (T.Y.Na) Вычислительные методы решения прикладных граничных задач [Мир, 1982]
очень полезно.

[Sicker]

Pphantom в сообщении #1080327 писал(а):

Граничные условия $y(0)=4$ и $y(10)=10$, решать надо методом стрельбы слева.

Если ввести разностную сетку, то нужно сделать два выстрела $x_1=P_{1}\cdot h+4$;$x_1=P_{2}\cdot h+4$, где $h$-шаг сетки, $P$ - произвольно взятая разностно вычисленная производная. Смотрим соответствующее $x_n(P_1)$, $x_n(P_2)$, находим нужное нам $P=P_1-\frac{x_n(P_2)-10}{x_n(P_2)-x_n(P_1)}(P_2-P_1)$,

-- 07.12.2015, 19:26 --

amon
Спасибо, почитаю.

[Pphantom]

Sicker в сообщении #1080353 писал(а):

Если ввести разностную сетку, то нужно сделать два выстрела $x_1=P_{1}\cdot h+4$;$x_1=P_{2}\cdot h+4$, где $h$-шаг сетки, $P$ - произвольно взятая разностно вычисленная производная. Смотрим соответствующее $x_n(P_1)$, $x_n(P_2)$, находим нужное нам $P=P_1-\frac{x_n(P_2)-10}{x_n(P_2)-x_n(P_1)}(P_2-P_1)$,

Это все очень хорошо выглядит в теории, а Вы попробуйте реализовать свою идею на практике.

Собственно, пример несложный, поэтому можно даже программу не писать: выберите $P_1$ и $P_2$ по вкусу, затем найдите общее решение аналитически, подставьте в него получившиеся условия задач Коши и вычислите (вернее, попробуйте вычислить) $P$. Тогда, думаю, станет яснее, почему стрельба - не всегда удачная идея.

[Sicker]

Pphantom
Да, кстати, я это чего спрашиваю
Мне нужно было интерполировать функцию кубическим сплайном с глобальным способом задания наклонов. И нужно было вычислить соответствующие $m_i$ с граничными условиями. Я решил моим методом стрельбы, и офигел от разброса значений У меня при разбиении на $N=20$ частей окончательно вычисленное значение $m_n$ где-то отличалось на 504 от истинного, которое надо было получить хотя бы с точность до тысячных. Я думал, что ошибка в том, что фортран все округляет, и поэтому набегает ошибка. Потому что если скажем изменить то значение $P$, которое я получил свои способом на одну сотую, то у меня не то что конечное значение изменится на сотню, а на миллиард! Так что я решил взять шаг поменьше $N=10$ и все вроде прилично получилось.
Препод не принял, сказал делать прогонкой, ибо прогонка это все

-- 07.12.2015, 19:56 --

Pphantom в сообщении #1080359 писал(а):

затем найдите общее решение аналитически

А почему аналитически? Численно и надо, а то большая погрешность будет. И если б программа считала идеально, то все должно было быть отлично.

[Pphantom]

Sicker в сообщении #1080362 писал(а):

Мне нужно было интерполировать функцию кубическим сплайном с глобальным способом задания наклонов. И нужно было вычислить соответствующие $m_i$ с граничными условиями. Я решил моим методом стрельбы, и офигел от разброса значений У меня при разбиении на $N=20$ частей окончательно вычисленное значение $m_n$ где-то отличалось на 504 от истинного, которое надо было получить хотя бы с точность до тысячных.

Ничего, это цветочки, бывает хуже.

Sicker в сообщении #1080362 писал(а):

Я думал, что ошибка в том, что фортран все округляет, и поэтому набегает ошибка.

Нет, Фортран тут ни при чем.

Sicker в сообщении #1080362 писал(а):

Так что я решил взять шаг поменьше $N=10$ и все вроде прилично получилось.
Препод не принял, сказал делать прогонкой, ибо прогонка это все

Именно. В определенных случаях можно обойтись и стрельбой, но если Вы заранее не знаете, что происходит, прогонка надежнее.

Sicker в сообщении #1080362 писал(а):

А почему аналитически? Численно и надо, а то большая погрешность будет. И если б программа считала идеально, то все должно было быть отлично.

Я помню, как у Вас обстояли дела с вычислительным программированием, поэтому решил, что так результат осознается быстрее (и тут его аналитически можно легко получить). Но, если хотите, можете попробовать и численно. Для вящей пикантности - используя переменные одинарной точности.

[Sicker]

Pphantom в сообщении #1080366 писал(а):

используя переменные одинарной точности.

А в идеале надо бесконечной