Ковариация и независимые величины.

[wanttoknow]

Помогите распутаться, пожалуйста!
Даны независимые случайные $X,Y\sim U[-1;1]$. Пусть $\xi=\dfrac{X}{X+Y}$, $\eta=X+Y$. $\cov(\xi,\eta)=?$ Являются ли случайные величины независимыми?

Ясно, что $\mathbb{E}(\xi\eta)= \mathbb{E}X=0$, $E(\eta)= \mathbb{E}(X+Y)= \mathbb{E}X+\mathbb{E}Y=0$

Тогда остается найти $ \mathbb{E}\left(\dfrac{X}{X+Y}\right)$

$$F_{\frac{X}{X+Y}}= \mathbb{P}\left(\dfrac{X}{X+Y}\leqslant t\right)=\mathbb{P}(X\leqslant t(X+Y),X+Y>0)+\mathbb{P}(X\geqslant t(X+Y),X+Y<0)$$

Для $t>0$

$\mathbb{P}\left(y\leqslant \dfrac{1-t}{t}x, x+y<0\right) +\mathbb{P}\left(y\geqslant \dfrac{1-t}{t}x, x+y>0\right)$
Но как считать эту вероятность? Не понимаю, подскажите, пожалуйста!

[wanttoknow]

В самом начале не пропечаталось, что нужно найти $\operatorname{cov}\xi\eta$

[wanttoknow]

У меня даже есть решение (в оффтоп положил), но я следующего перехода не пойму, в частности -- откуда берут $0,5$, потом откуда взялась восьмерка в знаменателе.

(Оффтоп)

[Otta]

wanttoknow в сообщении #1080031 писал(а):

Но как считать эту вероятность? Не понимаю, подскажите, пожалуйста!

Да ничего особенного. Рисуете множества, по которым интегрировать плотность в каждом случае: для разных $t$ они разные, -учитываете, что носитель плотности - квадрат, все. Картинка в оффтопе для понимания сути решения не нужна, проще все проделать с нуля самому.

[--mS--]

wanttoknow в сообщении #1080031 писал(а):

Тогда остается найти $ \mathbb{E}\left(\dfrac{X}{X+Y}\right)$

Зачем?

-- Пн дек 07, 2015 09:27:12 --

wanttoknow в сообщении #1080031 писал(а):

Но как считать эту вероятность? Не понимаю, подскажите, пожалуйста!

И снова - зачем? Вы какую-то другую задачу решать хотите, чем дана в условии?

[wanttoknow]

--mS-- в сообщении #1080176 писал(а):

wanttoknow в сообщении #1080031 писал(а):

Тогда остается найти $ \mathbb{E}\left(\dfrac{X}{X+Y}\right)$

Зачем?

-- Пн дек 07, 2015 09:27:12 --

wanttoknow в сообщении #1080031 писал(а):

Но как считать эту вероятность? Не понимаю, подскажите, пожалуйста!

И снова - зачем? Вы какую-то другую задачу решать хотите, чем дана в условии?

Мне кажется, что просто из-за моей опечатки в условии (не пропечаталась ковариация) -- сложилось впечатление, что ковариацию считать не нужно. Но ее считать нужно.

Потому как $\operatorname{cov}\xi\eta=\mathbb{E}\xi\eta-\mathbb{E}\xi\mathbb{E}\eta$

$\mathbb{E}\xi\eta$ уже нашли, $\mathbb{E}\eta$ -- тоже, но остается найти $\mathbb{E}\xi=\mathbb{E}\left(\dfrac{X}{X+Y}\right)$

Правильно ведь?

-- 07.12.2015, 09:18 --

Otta в сообщении #1080158 писал(а):

wanttoknow в сообщении #1080031 писал(а):

Но как считать эту вероятность? Не понимаю, подскажите, пожалуйста!

Да ничего особенного. Рисуете множества, по которым интегрировать плотность в каждом случае: для разных $t$ они разные, -учитываете, что носитель плотности - квадрат, все. Картинка в оффтопе для понимания сути решения не нужна, проще все проделать с нуля самому.

Спасибо. А плотность у нас такая? $f(x,y)=0,25$, если внутри квадрата, ноль иначе. Верно ли?

[Otta]

wanttoknow в сообщении #1080192 писал(а):

ковариацию считать не нужно. Но ее считать нужно.

Ну так давно пора.
Но никто не может запретить Вам делать еще много движений.

Плотность - такая, да.

[wanttoknow]

Спасибо! А можно так считать?

$D=\{(x,y):-1\leqslant x\leqslant 1, -1\leqslant y\leqslant 1\}$

$\mathbb{E}\xi=\mathbb{E}\left(\dfrac{X}{X+Y}\right)=0,25\displaystyle\int_{D}\dfrac{xy}{x+y}dxdy=\int_{-1}^{1}\dfrac{x\left(\frac{(1-t)x}{t}\right)}{x+\left(\frac{(1-t)x}{t}\right)}\sqrt{1+\left(\left(\frac{(1-t)x}{t}\right)'_x\right)^2}dx$

-- 07.12.2015, 10:49 --

Если неверно, то как можно проще вычислять, подскажите, пожалуйста!

[Otta]

Откуда взялся первый интеграл? Надежд понять, откуда второй, у меня нет никаких. Ничего, что у Вас матожидание от параметра стало зависеть?

wanttoknow в сообщении #1080207 писал(а):

Если неверно, то как можно проще вычислять, подскажите, пожалуйста!

Выписать формулу для ковариации в общем виде, подставить в нее то, что уже найдено, и смотреть. До просветления.

[wanttoknow]

Спасибо.

$\operatorname{cov}\xi\eta=\mathbb{E}((\xi-\mathbb{E}\xi)(\eta-\matbb{E}\eta))=\mathbb{E}((\xi-\mathbb{E}\xi)\eta)=\mathbb{E}\xi\eta-\mathbb{E}(\eta\mathbb{E}\xi)$

[Otta]

Не, ну в таком виде ничего узреть невозможно. Причешите.

[wanttoknow]

$\operatorname{cov}\xi\eta=\mathbb{E}((\xi-\mathbb{E}\xi)(\eta-\matbb{E}\eta))=\mathbb{E}((\xi-\mathbb{E}\xi)\eta)=\mathbb{E}\xi\eta-\mathbb{E}(\eta\mathbb{E}\xi)=\mathbb{E}\xi\eta-\mathbb{E}\xi\mathbb{E}\eta$

$\operatorname{cov}\xi\eta=\mathbb{E}\xi\eta-\mathbb{E}\xi\mathbb{E}\eta=0--\mathbb{E}\xi\cdot 0=0$

С ковариацией разобрался, но все-таки -- как считать $\mathbb{E}\xi$ в данной ситуации, что там за интеграл, подскажите, пожалуйста!

[--mS--]

Вы так и не объяснили, зачем Вы хотите считать $\mathsf E\xi$.

$$\mathsf E g(X,Y)=\iint_{\mathbb R^2} g(x,y)f_{X, Y}(x,y)\,dx\,dy.$$

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Сейчас придут люди, которые, в отличие от меня, теорвером занимаются всерьёз, а не просто время от времени более или менее удачно решают прикладные задачки, и выпорют меня за безграмотность, но я всё же, как тот попугай, выскажусь...
А что, простым глазом не видно, что зависимы? Что по одной величине мы может о другой узнать многое? Скажем, если $\eta\approx 0$, то, значит, $X\approx Y$, и поскольку знаменатель маленький, а числитель не обязан быть маленьким, то $\xi$ может быть очень большим, болтаясь почти что от $-\infty$ до $+\infty$, а если $\eta=2$, то $X=Y=1$, и мы знаем точное значение $\xi=\frac 1 2$. То есть распределение одной величины зависит от другой, и какая тут может быть независимость?
А ковариации считать бывает небесполезно, но только из нулевых ковариаций (или корреляций) независимость следует для двумерного нормального распределения. А тут и у исходных нормальность отсутствует, и нелинейное преобразование, которое, скорее всего, убило бы нормальность, даже если бы она была задана для X и Y. Тут бы условное распределение нарисовать. Да. Сложнее. Поэтому так популярно - постулировать нормальность, и "малой кровью" посчитать нулевые корреляции, а объявить о независимости величин. А они зависимы.

[--mS--]

Да вроде как независимость ТС ещё не начинал проверять :)