2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Абсолютная непрерывность мер, задаваемых процессами
Сообщение04.12.2015, 09:25 


16/03/09
23
Здравствуйте! Возникла следующая задачка: Пусть $w_t$ - винеровский процесс, $\xi_t:=w_t+t$ - винеровский процесс со сносом. Обозначим $T:=R_+$. Надо доказать, что мера, задаваемая процессом $\xi_t$ в функциональном пространстве $R^T$ абсолютно непрерывна относительно меры, задаваемой процессом $w_t$ в том же пространстве.

Как следует из одного достаточных условий абсолютной непрерывности в пространстве $R^T$ (в книжке Вентцеля), достаточно доказать, что для любого $\varepsilon>0$ найдется $\delta>0$, такое что если
$\mu_{w_{t_1}, \ldots, w_{t_n}}(A)<\delta$, то $\mu'_{\xi_{t_1}, \ldots, \xi_{t_n}}(A)<\varepsilon$. Здесь $\mu_{w_{t_1}, \ldots, w_{t_n}}$ - конечномерное распределение в $R^n$, задаваемое винеровским процессом $w_t$, $\mu'_{w_{t_1}, \ldots, w_{t_n}}$ - конечномерное распределение в $R^n$, задаваемое винеровским процессом со сносом $\xi_t$.

Так как плотности этих конечномерных распределений выписываются явно, то достаточно доказать, что из
$$
\int_A\prod_{i=1}^n(2\pi (t_i-t_{i-1}))^{1/2}\exp\left(-\frac{(x_i-x_{i-1})^2}{2(t_i-t_{i-1})}\right)dx_1\cdots \dx_n<\delta
$$
следует
$$
\int_A\prod_{i=1}^n(2\pi (t_i-t_{i-1}))^{1/2}\exp\left(-\frac{(x_i-x_{i-1}-(t_i-t_{i-1}))^2}{2(t_i-t_{i-1})}\right)dx_1\cdots\dx_n<\varepsilon
$$

Обозначим для краткости
$$
p(x_1,\ldots, x_n) =\prod_{i=1}^n (2\pi (t_i-t_{i-1}))^{1/2}\exp\left(-\frac{(x_i-x_{i-1})^2}{2(t_i-t_{i-1})}\right)
$$
$$
p'(x_1,\ldots, x_n)=\prod_{i=1}^n (2\pi (t_i-t_{i-1}))^{1/2}\exp\left(-\frac{(x_i-x_{i-1}-(t_i-t_{i-1}))^2}{2(t_i-t_{i-1})}\right)
$$

Тогда первый интеграл есть вероятность события $A$, задаваемая распределением с плотностью $p(x_1,\ldots, x_n) $, а второй есть
$$
\int_A p(x_1,\ldots, x_n) dx_1\cdots dx_n=\int_A \frac{p(x_1,\ldots, x_n)}{p'(x_1,\ldots, x_n)} p'(x_1,\ldots, x_n)dx_1\cdots dx_n=
$$
$$
=\int_A \exp\left(-\sum_{i=1}^n\frac{(x_i-x_{i-1})^2-(x_i-x_{i-1}-(t_i-t_{i-1}))^2}{2(t_i-t_{i-1})}\right) p'(x_1,\ldots, x_n)dx_1\cdots dx_n=
$$
$$
=\int_A \exp\left(\sum_{i=1}^n\frac{(t_i-t_{i-1})}{2}-(x_i-x_{i-1})\right) p'(x_1,\ldots, x_n)dx_1\cdots dx_n=
$$
$$
=M\exp\left(\sum_{i=1}^n\frac{(t_i-t_{i-1})}{2}-(w_{t_i}-w_{t_{i-1}})\right)\cdot I_A
$$

Как видим, это представляет из себя математическое ожидание величины $\exp\left(\sum_{i=1}^n\frac{(t_i-t_{i-1})}{2}-(w_{t_i}-w_{t_{i-1}})\right)\cdot I_A$. Как доказать, что если мера множества $A$ мала, то мало будет и матожидание $M\exp\left(\sum_{i=1}^n\frac{(t_i-t_{i-1})}{2}-(w_{t_i}-w_{t_{i-1}})\right)\cdot I_A$?
Если бы $t_1,\cdots, t_n$ были фиксированы, то было бы все понятно из абсолютной непрерывности интеграла Лебега. А тут $n$, да и $t_1,\cdots, t_n$ - произвольные.

Буду рад вашей подсказке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Абсолютная непрерывность мер, задаваемых процессами
Сообщение04.12.2015, 11:33 


16/03/09
23
Вопрос можно считать закрытым. Не доглядел условия задачи: там винеровский процесс дан на отрезке $[0,1]$. Поэтому последнее матожидание легко оценить :
$$
M\exp\left(\sum_{i=1}^n\frac{(t_i-t_{i-1})}{2}-(w_{t_i}-w_{t_{i-1}})\right)\cdot I_A=M\exp\left(\frac{(t_n-t_0)}{2}-(w_{t_n}-w_{t_0})\right)\cdot I_A
$$
Так как $0<t_n<1$, то последнее матожидание легко оценить по неравенству Коши-Буньковского.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group