Абсолютная непрерывность мер, задаваемых процессами

[mushti]

Здравствуйте! Возникла следующая задачка: Пусть $w_t$ - винеровский процесс, $\xi_t:=w_t+t$ - винеровский процесс со сносом. Обозначим $T:=R_+$. Надо доказать, что мера, задаваемая процессом $\xi_t$ в функциональном пространстве $R^T$ абсолютно непрерывна относительно меры, задаваемой процессом $w_t$ в том же пространстве.

Как следует из одного достаточных условий абсолютной непрерывности в пространстве $R^T$ (в книжке Вентцеля), достаточно доказать, что для любого $\varepsilon>0$ найдется $\delta>0$, такое что если
$\mu_{w_{t_1}, \ldots, w_{t_n}}(A)<\delta$, то $\mu'_{\xi_{t_1}, \ldots, \xi_{t_n}}(A)<\varepsilon$. Здесь $\mu_{w_{t_1}, \ldots, w_{t_n}}$ - конечномерное распределение в $R^n$, задаваемое винеровским процессом $w_t$, $\mu'_{w_{t_1}, \ldots, w_{t_n}}$ - конечномерное распределение в $R^n$, задаваемое винеровским процессом со сносом $\xi_t$.

Так как плотности этих конечномерных распределений выписываются явно, то достаточно доказать, что из

$$ \int_A\prod_{i=1}^n(2\pi (t_i-t_{i-1}))^{1/2}\exp\left(-\frac{(x_i-x_{i-1})^2}{2(t_i-t_{i-1})}\right)dx_1\cdots \dx_n<\delta $$

следует

$$ \int_A\prod_{i=1}^n(2\pi (t_i-t_{i-1}))^{1/2}\exp\left(-\frac{(x_i-x_{i-1}-(t_i-t_{i-1}))^2}{2(t_i-t_{i-1})}\right)dx_1\cdots\dx_n<\varepsilon $$

Обозначим для краткости

$$ p(x_1,\ldots, x_n) =\prod_{i=1}^n (2\pi (t_i-t_{i-1}))^{1/2}\exp\left(-\frac{(x_i-x_{i-1})^2}{2(t_i-t_{i-1})}\right) $$

$$ p'(x_1,\ldots, x_n)=\prod_{i=1}^n (2\pi (t_i-t_{i-1}))^{1/2}\exp\left(-\frac{(x_i-x_{i-1}-(t_i-t_{i-1}))^2}{2(t_i-t_{i-1})}\right) $$

Тогда первый интеграл есть вероятность события $A$, задаваемая распределением с плотностью $p(x_1,\ldots, x_n) $, а второй есть

$$ \int_A p(x_1,\ldots, x_n) dx_1\cdots dx_n=\int_A \frac{p(x_1,\ldots, x_n)}{p'(x_1,\ldots, x_n)} p'(x_1,\ldots, x_n)dx_1\cdots dx_n= $$

$$ =\int_A \exp\left(-\sum_{i=1}^n\frac{(x_i-x_{i-1})^2-(x_i-x_{i-1}-(t_i-t_{i-1}))^2}{2(t_i-t_{i-1})}\right) p'(x_1,\ldots, x_n)dx_1\cdots dx_n= $$

$$ =\int_A \exp\left(\sum_{i=1}^n\frac{(t_i-t_{i-1})}{2}-(x_i-x_{i-1})\right) p'(x_1,\ldots, x_n)dx_1\cdots dx_n= $$ $$ =M\exp\left(\sum_{i=1}^n\frac{(t_i-t_{i-1})}{2}-(w_{t_i}-w_{t_{i-1}})\right)\cdot I_A $$

Как видим, это представляет из себя математическое ожидание величины $\exp\left(\sum_{i=1}^n\frac{(t_i-t_{i-1})}{2}-(w_{t_i}-w_{t_{i-1}})\right)\cdot I_A$. Как доказать, что если мера множества $A$ мала, то мало будет и матожидание $M\exp\left(\sum_{i=1}^n\frac{(t_i-t_{i-1})}{2}-(w_{t_i}-w_{t_{i-1}})\right)\cdot I_A$?
Если бы $t_1,\cdots, t_n$ были фиксированы, то было бы все понятно из абсолютной непрерывности интеграла Лебега. А тут $n$, да и $t_1,\cdots, t_n$ - произвольные.

Буду рад вашей подсказке.

[mushti]

Вопрос можно считать закрытым. Не доглядел условия задачи: там винеровский процесс дан на отрезке $[0,1]$. Поэтому последнее матожидание легко оценить :

$$ M\exp\left(\sum_{i=1}^n\frac{(t_i-t_{i-1})}{2}-(w_{t_i}-w_{t_{i-1}})\right)\cdot I_A=M\exp\left(\frac{(t_n-t_0)}{2}-(w_{t_n}-w_{t_0})\right)\cdot I_A $$

Так как $0<t_n<1$, то последнее матожидание легко оценить по неравенству Коши-Буньковского.