Задача на ассоциативность умножения

[Munin]

Например, неассоциативно умножение в алгебре октонионов, которые являются дальнейшим обобщением комплексных чисел по цепочке: действительные → комплексные → кватернионы → октонионы → седенионы...
$(e_ie_j)e_k = -e_i(e_je_k) \neq e_i(e_je_k).$

Например, неассоциативно векторное произведение векторов: $(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}\ne\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c}).$

Но вообще говоря, большинство неассоциативных операций не принято называть умножением, вот и всё.

-- 03.12.2015 12:35:50 --

Кстати, поэтому, например, для векторов используется и другое обозначение векторного произведения, с обязательными скобками: $[[\vec{a}\,\vec{b}\,]\,\vec{c}\,]\ne[\vec{a}\,[\vec{b}\,\vec{c}\,]].$
То же самое (в том числе с другими скобками) используется и для многих других неассоциативных операций.

[ИСН]

(Оффтоп)

VAL в сообщении #1078986 писал(а):

А вот с "точнее" я не понял. В этих случаях аналог ассоциативности вполне себе имеет место.

Аналог, может, и имеет, а сама она - как-то не очень. Ну смотрите, умножим мы скалярно векторы b на c, а потом это число на вектор a. Что получится? Вектор, пропорциональный a. А если делать то же самое в другом порядке? Вектор, пропорциональный c.

[AliceLovelace]

Умножение на калькуляторе неассоциативно)

[gris]

С неассоциативностью и некоммутативностью дети сталкиваются ещё в первом классе. Это вычитание, которое рассматривается пока как действие, достаточно равноправное со сложением. И если отличие $5-3$ от $3-5$ ещё как-то объясняется на бытовых примерах, то понять, почему$(5-3)-1\neq 5-(3-1)$, хотя $(5-3)-1= (5-1)-3$ достаточно трудно. Причём, именно умненьким

+ Ой, и не прочитал, что это уже обсудили

[VAL]

ИСН в сообщении #1078999 писал(а):

(Оффтоп)

VAL в сообщении #1078986 писал(а):

А вот с "точнее" я не понял. В этих случаях аналог ассоциативности вполне себе имеет место.

Аналог, может, и имеет, а сама она - как-то не очень. Ну смотрите, умножим мы скалярно векторы b на c, а потом это число на вектор a. Что получится? Вектор, пропорциональный a. А если делать то же самое в другом порядке? Вектор, пропорциональный c.

(Оффтоп)

Я имел в виду ситуацию $(\alpha b,c)=\alpha (b,c), где $\alpha$ - скаляр, $b,c$ - векторы, круглые скобки и запятая - скалярное произведение, а простое приписывание - произведение вектора на скаляр. При этом первой (если смотреть слева направо) идет операция умножения вектора на скаляр (при этом в левой части она выполняется первой по порядку действий, а в правой - второй).
В Вашем же примере операции как-то загадочно меняются местами, т.е. не прописаны заранее, а выбираются в зависимости от расстановки скобок.

-- 03 дек 2015, 13:17 --

gris в сообщении #1079005 писал(а):

С неассоциативностью и некоммутативностью дети сталкиваются ещё в первом классе. Это вычитание, которое рассматривается пока как действие, достаточно равноправное со сложением. И если отличие $5-3$ от $3-5$ ещё как-то объясняется на бытовых примерах, то понять, почему$(5-3)-1\neq 5-(3-1)$, хотя $(5-3)-1= (5-1)-3$ достаточно трудно. Причём, именно умненьким

Такой пример я уже приводил, но ТС его с негодованием отверг (а Вы не заметили).

[ИСН]

(Оффтоп)

VAL в сообщении #1079007 писал(а):

В Вашем же примере операции как-то загадочно меняются местами, т.е. не прописаны заранее, а выбираются в зависимости от расстановки скобок.

У меня одна операция и ничего не выбирается. Эта операция - "умножение". Определено оно так, как я сказал выше. Я знаю, что нормальные люди так не делают. Тем не менее, вот множество, оно есть, операция на нём - есть, ассоциативности - нет.

[timber]

[quote="VanD в сообщении #1078992"]Смысл скобок в том, что операция не знает, как обработать 3 числа на входе. Она знает, что делать с двумя, но запись $a \cdot b \cdot c$ - для неё загадка. Что это значит, ведь у операции должно быть 2 аргумента? Эту запись можно трактовать двумя способами: сначала на вход операция получает $a, b$ а потом на вход получает предыдущий результат и $c$, но есть вариант, когда сначала $b, c$ а потом $a$ и предыдущий результат. Ассоциотивность по сути - требование отсутствия путаницы, с ней можно не ставить скобок в записи $a \cdot b \cdot c$ - результат будет один, как ни понимай. Без неё эта запись трактуется двояко.

Ну а скобки тут формально указывают на то, какой из двух описанных вариантов имелся в виду (кого сначала, кого потом). [/quot]

То есть хотите сказать, что правило ассоциативности умножения придумано для того, чтобы указать человеку или вычислительной машине в какой последовательности выполнять операцию умножения?

[Xaositect]

timber в сообщении #1079037 писал(а):

То есть хотите сказать, что правило ассоциативности умножения придумано для того, чтобы указать человеку или вычислительной машине в какой последовательности выполнять операцию умножения?

Скобки придуманы, чтобы указать последовательность операций. А ассоциативность получается, когда мы исследуем вопрос: а как же эта последовательность влияет на результат?

-- Чт дек 03, 2015 14:30:19 --

Кстати, например, умножение чисел с плавающей точкой в компьютере неассоциативно: Попробуйте на компьютере вычислить $(10^{-200} \cdot 10^{-200}) \cdot 10^{200}$ и $10^{-200} \cdot (10^{-200} \cdot 10^{200})$.

[arseniiv]

timber в сообщении #1078975 писал(а):

Речь идет конкретно об ассоциативности умножения, ну еще можно взять ассоциативность сложения. В чем здесь смысл скобок, если как ни крути эти скобки, то результат будет один и тот же?

В вашем примере $(a+b)\cdot c\ne a+(b\cdot c)$ -- результат конечно зависит от расстановки скобок, но вот в выражении $a \cdot b \cdot c$ или $a + b + c$ результат всегда один.

A priori про одинаковость значений $a*(b*c)$ и $(a*b)*c$ ничего не известно. Когда показана ассоциативность операции $*$ — только тогда мы можем избавиться от скобок, положив запись $a*\ldots*z$ по определению равной какому-нибудь из применений $*$ ко всем $a,\ldots,z$.

Ну, это ещё один из уже имеющихся выше пересказов того же.

timber в сообщении #1079037 писал(а):

То есть хотите сказать, что правило ассоциативности умножения придумано для того, чтобы указать человеку или вычислительной машине в какой последовательности выполнять операцию умножения?

Ассоциативность — это, скорее, не «правило». Это свойство операции, так же как натуральные числа могут быть, например, чётными, нечётными, точными квадратами, дающими 5 в остатке от деления на 8, большими ста и т. д..

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #1079031 писал(а):

Определено оно так, как я сказал выше. Я знаю, что нормальные люди так не делают.

Ну вот, я ненормальный.

[Munin]

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #1079031 писал(а):

У меня одна операция и ничего не выбирается. Эта операция - "умножение".

ИСН в сообщении #1079031 писал(а):

Тем не менее, вот множество, оно есть, операция на нём - есть

Решили размяться мелким троллингом? :-)