Одномерное УШ для двух частиц

[Osmiy]

Меня в данный момент интересует правильно ли я записал уравнение Шредингера. В частности затруднение вызвала "кинетическая" часть уравнения. Обычно примеры приводят для одной частицы.

Есть две частицы с массами $m_1$ и $m_2$ и координатами $x_1$ и $x_2$. Потенциальная энергия взаимодействия частиц равна $U(x_1,x_2)$. Волновая функция системы $\Psi(x_1,x_2)$.
Тогда одномерное стационарное УШ для двух частиц запишется как
$-\frac{\hbar^2}{2m_1}\frac{\partial^2\Psi(x_1,x_2)}{\partial{x_1^2}}-\frac{\hbar^2}{2m_2}\frac{\partial^2\Psi(x_1,x_2)}{\partial{x_2^2}}+U(x_1,x_2)\Psi(x_1,x_2)=E\Psi(x_1,x_2)$
Правильно?

И еще дополнительный вопрос. Правда что нет аналитического решения УШ для двух и более частиц даже для одномерного случая?

[amon]

Osmiy в сообщении #1078793 писал(а):

правильно ли я записал уравнение Шредингера

Правильно.

Osmiy в сообщении #1078793 писал(а):

Правда что нет аналитического решения УШ для двух и более частиц

Неправда. Положите, например, $U=0$, и решайте на здоровье.

[Osmiy]

amon в сообщении #1078795 писал(а):

Положите, например, $U=0$, и решайте на здоровье.

Это получается случай невзаимодействующих частиц. А если взаимодействуют?

[amon]

Osmiy в сообщении #1078797 писал(а):

А если взаимодействуют?

От потенциала зависит, как и в одномерном случае. Например, можете сами попробовать решить для потенциала $U=0$ если $|x|<l/2,\; |y|<l/2$ и бесконечности в остальной области ("квадратная потенциальная яма с бесконечными стенками").

[Osmiy]

А для обычного потенциала $U(x_1,x_2)=-\frac{1}{|x_1-x_2|}$ есть решение?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[Red_Herring]

Если у Вас потенциал зависит только от разности $x_1-x_2$ то по существу у Вас лишь одна частица. Следует только ввести вместо $x_1,x_2$ переменные $y_1=(m_1x_1+m_2x_2)/(m_1+m_2)$ и $y_2=x_1-x_2$ и тогда $\hat{H}=\hat{H}_1+\hat{H}_2$, где каждый из $\hat{H}_1,\hat{H}_2$ по своей переменной — и переменные разделились. Более того, $\hat{H}_1$ свободный Гамильтониан движения центра масс

[Osmiy]

В общем мне все понятно. Я просто обратил внимание что задача движения двух частиц в одном измерении превращается в движение одной частицы в двухмерном и вполне решаема. Но то что эти задачи решены уже нигде не встречал в качестве примера. А наоборот постоянно пишут что аналитическое решение для двух и более частиц неизвестно (видимо имеют ввиду трехмерный случай).
Всем спасибо.

[Red_Herring]

Osmiy в сообщении #1078940 писал(а):

В общем мне все понятно.

Увы, Вы заблуждаетесь.

Дело не в трёхмерности. Даже если Вы рассмотрите две одномерные частицы, взаимодействующие между собой и во внешнем поле (т.е. потенциал $V_1(x_1)+V_2(x_2)+V_{12}(x_1-x_2)$, то явного решения нет. А если две трехмерные, но взаимодействующие только между собой, то всё что я написал об отделении центра масс остаётся в силе.

[Osmiy]

Ясно, спасибо.

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1078945 писал(а):

Даже если Вы рассмотрите две одномерные частицы, взаимодействующие между собой и во внешнем поле (т.е. потенциал $V_1(x_1)+V_2(x_2)+V_{12}(x_1-x_2)$, то явного решения нет.

Ну при чём тут это? Возьмите простые ступенчатые потенциалы, и легко выпишете решение.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1078984 писал(а):

Возьмите простые ступенчатые потенциалы, и легко выпишете решение.

Ну не так уж и легко—надо рассмотреть разные зоны и сшить решения на их границах. Но если очень захотемба и потемба, то можно. Но это только в силу того, что потенциалы уж очень специфические.

[Munin]

Возьмите непрерывные кусочно-линейные. Здесь всё в рамках функций Эйри. Ну и так далее.
Всё это для математиков "потемба", а по сути, довольно прозрачные вещи.
Трудности, например, с многоэлектронными атомами, возникают скорее из-за специфического вида потенциалов, а не из-за вообще многочастичности и потенциала ядра.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1078995 писал(а):

Всё это для математиков "потемба", а по сути, довольно прозрачные вещи.

Особенно сшивка решений. И особо в том случае, когда кусков много. Ну есть, конечно, такие люди, кому это удовольствие доставляет.

[Munin]

А есть такие люди, которые сваливают это на железного коня. В конце концов, это не больше чем решение СЛАУ, то есть просто скучно.