2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Численные методы вычисления определенных интегралов
Сообщение01.12.2015, 06:41 


29/05/15
100
здравствуйте, помогите пожалуйста приступить к решению задачи по дисциплине вычислительная математика студенту-заочнику

нужно вычислить методом прямоугольников, трапеций и Симпсона определенный интеграл с шагом $h=0,1$

$$\int\limits_{0}^{1}x^2 \exp x dx$$

пока в литературе нашел про формулу трапеций

$$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx \approx h(\frac{y_0+y_n}{2} + y_1+y_2+...+y_{n-1})$$ где $y_i=f(x_i)$ $(i=0,1,...,n)$

остаточный член имеет вид $R_1=-\frac{nh^3}{12}f''(\xi)=-\frac{(b-a) h^2}{12}f''(\xi)$
$a<\xi<b$

правильно ли я понимаю, что для вычисление по формуле трапеций, нужно вычислить значение функции на каждом шаге... а для этого берем таблицу для функции экспоненты и перемножаем на квадрат аргумента ... потом все это подставляем в квадратурную формулу и получаем приближенное значение интеграла... но при этом совершаем погрешность усечения... то есть для того чтобы получить окончательное решение еще нужно посчитать сумму таких остаточных членов... а для этого нужно вычислить производную произведения ... а потом найти еще одну производную от полученного выражения

вычисления организуем в таблице

$
\begin{array}{l|l|l|l}
x &  x^2 & \exp(x)=e^x & e^x\cdot x^2 \\
\hline
0,1 & 0,01 & 1,1052 & 0,011052 \\
0,2 & 0,04 & 1,2214 & 0,048856 \\
0.3 & 0,09 & 1,3499 & 0,121491 \\
0,4 & 0,16 & 1,4918 & 0,238688 \\
0,5 & 0,25 & 1,6487 & 0,412175 \\
0,6 & 0,36 & 1,8221 & 0,655956 \\
0,7 & 0,49 & 2,0138 & 0,986762 \\
0,8 & 0,64 & 2,2255 & 1,42432 \\
0,9 & 0,81 & 2,4596 & 1,992276 \\
1    & 1      & 2,7183 & 2,7183 \\
\end{array}

$

$
\int\limits_{0}^{1}x^2 \exp x dx \approx 0,1\cdot (\frac{0,011052+2,7183}{2} + 0,048856 + 0,121491 + 0,238688 + 0,412175 + 0,655956 + 0,986762 + 1,42432 + 1,992276) =0,72452
$

это похоже на правду? :?:
табличные значение $e^x$ не точные, следовательно существует погрешность... более того происходит умножение неточного числа на точное и потом происходит суммирование. Интересно, такую погрешность необходимо учитывать в данном методе или ей можно просто пренебречь и может быть такая погрешность уже заложена в остаточном члене? :?:

 i  Lia: Название темы изменено на информативное без согласования с автором.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение01.12.2015, 06:48 
Модератор


20/03/14
11513
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение08.12.2015, 05:34 
Модератор


20/03/14
11513
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Численные методы вычисления определенных интегралов
Сообщение08.12.2015, 08:19 
Аватара пользователя


26/05/12
1253
приходит весна?
IHmG в сообщении #1078490 писал(а):
это похоже на правду?

У вас интеграл аналитически берётся. Вот и сравнивайте: $e-2=0.718281828459045$

-- 08.12.2015, 09:24 --

IHmG в сообщении #1078490 писал(а):
такую погрешность необходимо учитывать в данном методе
В общем случае такую погрешность учитывать надо, но проявлять она себя будет только при весьма специфичных обстоятельствах.

В вашем случае, нужно в первую очередь оценить максимальное возможно значение остаточного члена. Для этого найдите вторую производную подынтегральной функции и прикиньте, какое максимальное значение может принимать её модуль на отрезке интегрирования. Подставьте это значение в формулу и получите оценку сверху на погрешность метода. Именно эта величина будет каждый раз, когда вы не знаете точного значения интеграла, говорить, на сколько сильно полученное вами значение отличается от искомого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численные методы вычисления определенных интегралов
Сообщение10.12.2015, 04:38 


29/05/15
100
спасибо :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Численные методы вычисления определенных интегралов
Сообщение11.12.2015, 05:03 


29/05/15
100
Найдем остаточный член

$$f'(x)=(x^2\cdot e^x)'=2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x$$
$$f''(x)=[(2x+x^2)\cdot e^x]'=(2x+x^2)' \cdot e^x + (2x+x^2) \cdot e^x = (2+2x) \cdot e^x + (2x+x^2) \cdot e^x  = e^x (x^2+4x+2)$$
$$f''(0)=2$$
$$f''(1)=19,0281$$

так как значение производной пойдет в числитель, а нам нужно найти максимальный остаточный член, то возьмем например число 0,9 (максимальный с учетом шага в задаче)

$$f''(0,9)=17,424303$$

$$R=-\frac{0,1^2}{12} \cdot 17,424303 \approx -0,014520 \approx -0,01$$

:?: не понятно... остаточный член нужно считать на каждом шаге? последнее округление - результат подгонки под аналитический ответ... а как понять законное округление \ точность?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group