Число траекторий в трубе

[alhimikoff]

Собственно, задача из темы topic103320.html - это простейший вариант.
Что если поставить задачу так:
Есть труба, скажем квадратная со стороной a или круглая радиуса R, длины L с осью $x=y=0$.
Частица начинает движение из точки $A=(x,y,0)$ и приходит в точку $B=(x_1,y_1,L)$.
За шаг частица может сдвигаться на $\pm1$ в направлении $x$ или $y$ и на $1$ в направлении $z$, отражается внутрь трубы от стенок любым допустимым ходом.
Сколько траекторий ведёт из точки A в точку B?
Очевидно, что наибольшее число траекторий должно вести из $(0,0,0)$ в $(0,0,L)$.
Неужели никто не задавался этим вопросом? Наверняка есть какая-нибудь асимптотическая формула, экспоненциально зависящая от площади сечения и длины...

[Skeptic]

Возьмите шахматную доску, поставьте короля на нижнюю горизонталь и считайте сколько у него путей до поля на верхней горизонтали. Затем обобщите на трёхмерный случай.

[alhimikoff]

Skeptic в сообщении #1078297 писал(а):

Возьмите шахматную доску, поставьте короля на нижнюю горизонталь и считайте сколько у него путей до поля на верхней горизонтали. Затем обобщите на трёхмерный случай.

Соседняя тема почти об этом, король там ходит только по диагонали.