2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Множество упорядоченных пар натуральных чисел счётно
Сообщение30.11.2015, 12:59 


26/08/11
120
Здравствуйте. Читаю Зорича. В параграфе 4 "Счётные и несчётные множества", есть доказательство счётности множества упорядоченных пар натуральных чисел.
Непонятен следующий момент: "Но отображение $f:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{N}$, задаваемое формулой $(m, n)\to\frac{(m+n)(m+n+1)}{2}+m$, как легко проверить, биективно".
Почему оно биективно? Сюръекция не соблюдается. Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество упорядоченных пар натуральных чисел счётно
Сообщение30.11.2015, 13:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Где именно не соблюдается сюрьекция? Какой элемент $\mathbb{N}$ не имеет прообраза?

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество упорядоченных пар натуральных чисел счётно
Сообщение30.11.2015, 13:08 


26/08/11
120
Xaositect
Например 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество упорядоченных пар натуральных чисел счётно
Сообщение30.11.2015, 13:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Да, действительно. Эта формула работает, если считать натуральные числа с нуля. Если с единицы, то правильная формула $\dfrac{(m + n - 2)(m + n - 1)}{2} + m$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество упорядоченных пар натуральных чисел счётно
Сообщение30.11.2015, 13:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Guliashik в сообщении #1078261 писал(а):
Почему оно биективно? Сюръекция не соблюдается. Спасибо!
Видимо, у Зорича натуральный ряд начинается с нуля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество упорядоченных пар натуральных чисел счётно
Сообщение30.11.2015, 13:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Someone в сообщении #1078267 писал(а):
Видимо, у Зорича натуральный ряд начинается с нуля.
Нет, я специально проверил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество упорядоченных пар натуральных чисел счётно
Сообщение30.11.2015, 13:19 


26/08/11
120
Скорее всего это и правда опечатка. Цитирую автора: "С теоретико-множественной точки зрения, быть может, разумнее натуральные числа начинать с 0, т.е. вводить множество натуральных чисел как наименьшее индуктивное множество, содержащее 0, однако нам удобнее начинать нумерацию числом 1".

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество упорядоченных пар натуральных чисел счётно
Сообщение30.11.2015, 14:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Тогда да, опечатка. Но, может быть, конфликт двух версий. (У меня учебника Зорича нет.)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group