дифуры

[olga_helga]

Найти в виде ряда решение задачи Коши:
1)

\[ (x + y^2 )y' = y \]

,y(0)=1
2)

\[ y' = 1 - x^2 + y \]

,y(0)=1
2) я вообще решить не могу,а в 1) можно подобрать интегрирующий множитель

\[ \mu = \frac{1} {{y^2 }} \]

,получается уравнение в полных диференциалах

\[ - \frac{1} {y}dx - \frac{{1 - y^2 }} {y}dy = 0 \]

, и общий интеграл ур-ия получается

\[ - x - \frac{{1 - y^2 }} {y} = C \]

.Как из него по-нормальному выразить решение в виде ряда?

[V.V.]

В виде ряда - это значит представить решение в виде
$y=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\ldots$.

А точные решения обоих уравнений тупо находятся.
Второе - линейное неоднородное уравнение первого порядка. Сначала рассматриваете уравнение $y'=y$, потом варьируете правую часть. Первое - также. Только надо рассматривать не функцию $y(x)$, а функцию $x(y)$.

[Brukvalub]

Например, для второго ур-ния. Пишем:

\[ y = \sum\limits_{n = 0}^\infty {c_n x^n } \Rightarrow y' = \sum\limits_{n = 0}^\infty {nc_n x^{n - 1} } \Rightarrow \sum\limits_{n = 0}^\infty {nc_n x^{n - 1} } = 1 - x^2 + \sum\limits_{n = 0}^\infty {c_n x^n } \]

Тогда

\[ c_0 + 1 = 1\;,\;c_1 = 2c_2 \;,\;c_2 - 1 = 3c_3 \;,\;c_n = nc_{n - 1} \;,\;n \ge 3\]

. Отсюда последовательно находим коэффициенты и, затем, радиус сходимости ряда.