Характеристические функции, последние 2 задачи.

[toreto]

Спасибо, что помогаете разобраться с темой характеристические функции. Я уже многое понял.
Осталось еще парочка задач, с которой хотелось бы разобраться.
Что можно почитать, чтобы их решить? Какие понятия, теоремы нужно использовать? Готов почитать, разобраться. Но пока что идей нет.

1) Пусть $\{\xi_n, n\in\mathbb{N}\}$ -- последовательность нормальных случайных величин. Докажите, что если $\xi_n\stackrel{d}{\longrightarrow} \xi$, то $\xi$ -- тоже нормальная случайная величина или константа.

2) Случайная величина $\xi$ принимает только целые значения, а $\varphi(t)$ -- характеристическая функция $\xi$.
Доказать, что при любом натуральном $k$ выполнено:

$\mathbb{P}(\xi\equiv 0 \pmod k=\dfrac{1}{k}\displaystyle\sum_{j=0}^{k-1}\varphi\left(\dfrac{2\pi}{k}\right)$


1) Я понимаю, что нужно доказать, что случайная величина сходится по распределению (слабо сходится). Определение:

Случайная величина сходится по распределению, если для любой непрерывной ограниченной функции $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ выполнено $\mathbb{E}f(\xi_n)\to \mathbb{E}f(\xi)$ при $n\to \infty$

Еще прочитал про такой критерий:

Я думаю, что может пригодится критерий сходимости по распределению.

Последовательность случайных величин $\xi_1,...,\xi_n$ сходится по распределению к $\xi$ тогда и только тогда,
когда для любого $x$ из множества точек непрерывности функции распределения $F_\xi(x)$ выполнено $F_{\xi_n}\to F_{\xi}$ при $n\to \infty$

2) С чего тут примерно начать? Я понимаю, что тут говорится о том, что вероятность того, что случайная величина $\xi$ делится на $k$ равна $\dfrac{1}{k}\displaystyle\sum_{j=0}^{k-1}\varphi\left(\dfrac{2\pi}{k}\right)$. Но как?