2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Доказательство равенств (почему так)
Сообщение28.11.2015, 20:04 


28/11/15
15
Простите гуманитария, что залез в ваш форум.
Несмотря на то, что в школе математику знал на очень приличном уровне, все нынче забылось, но восхищение математикой осталось. Иногда открываю книжки где много матана и любуюсь формулами, как какой-нибудь эстет в Эрмитаже...
Теперь к делу: почитываю Куранта с его "Шо такое математика", там где он толково разъясняет про математическую индукцию. И как раз я опять столкнулся с вопросом, который меня сильно напряг в школе: то ли потому что в школе нам это не объяснили, то ли я не уловил.

Во многих доказательствах всяких равенств эти самые доказательства начинаются со слов: давайте разделим или умнжим обе части равенства на... а дальше идет выражение, на которое делится уравнение. Так вот делится не на x, не на какое-то число, а на многочлен. Типа $a-b^2$
Вопрос, как доказывающий определяет, на что надо разделить/умножить выражение?

Пример из Куранта

Цитата:
Если верно, что $(1 + p)r \geqslant 1 + rp$, то, умножая обе части неравенства на положительное число $1 + p$, мы получаем:
$(1 + p)^r^+^1 \geqslant 1 + rp + p + rp^2$.


Из каких соображений мы умножаем на 1+p?

Еще раз извините за банальный вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство равенств (почему так)
Сообщение28.11.2015, 20:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12016
Казань
Ну, если это доказательство индукцией по $\r$, то цель -- увеличить показатель степени на 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство равенств (почему так)
Сообщение28.11.2015, 20:28 
Заслуженный участник


08/04/08
8519
Ostromir в сообщении #1077703 писал(а):
Вопрос, как доказывающий определяет, на что надо разделить/умножить выражение?
В общем случае ответа нет. Далеко не всегда делят и умножают. Иногда производят предварительные и последующие сложные операции. В конкретных случаях и классах случаев можно что-то утверждать в общем. Но во всех случаях поиск правильного шага делается не особо известно как - видимо, это еще не формализованная часть знаний (м.б. она тривиальна). Но прикол в том, что для доказательства описание того, как ты нашел этот шаг, необязательно. Вот такой прикол.

В данном случае автор подбирает простую функцию $f$, задаваемую простой формулой, такую что $f((1+p)^r)=(1+p)^{r+1}$. Вот он берет $f(x)=x(1+p)$, она проста, но вообще таких функций много. Можно предположить, что часто, не имея особых догадок, действуют методом тыка, перебирая сначала простые выражения, потом - сложные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство равенств (почему так)
Сообщение28.11.2015, 20:37 


28/11/15
15
Ок, но я помню по школе (по факультативам, ибо класс у нас был рабоче-крестьянский), есть класс задач на доказательство равенств, которые я просто не мог решить, потому что они решались исходя из вышеприведенного метода.
Ладно там умные математики а-ля Гёдель, Курант и Перельман, которые нутром чувствуют, что вот тут надо разделить на $5x^2\sin x-tgy$ и тогда теорема ферма равенство будет доказано.
Но как школьник должен придти к такому выводу?

Может, надо домножать на элементы равенства?
Я вообще не понимаю, почему мы в доказательствах начинаем модифицировать равенство.
Считаю, что в школах этот момент как-то игнорируется, тем самым не давая ученику получить математическое мышление (теперь то понятно как я стал гуманитарием :))))

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство равенств (почему так)
Сообщение28.11.2015, 20:39 
Заслуженный участник


14/10/14
981
Ostromir
Насколько я понимаю, вы хотите доказать неравенство $(1+p)^r\geqslant 1+rp$ для всех целых чисел $r\geqslant 0$ и любых действительных $p>-1$. (Вы напрасно это не написали сразу, особенно если я не угадал.)

Вот вы хотите установить, что если уж оно верно для числа $p$ и какого-нибудь показателя $r$ - то тогда для $r+1$ тоже. Вы знаете, что $(1+p)^r\geqslant 1+rp$. Как из этого знания понять что-нибудь про $(1+p)^{r+1}$?

    Напоминаю: мы хотим получить $(1+p)^{r+1}\geqslant 1+(r+1)p.$

Ну можно умножить исходное неравенство на $1+p$ - получится что-то, где фигурирует $(1+p)^{r+1}$. Я, конечно, не уверен, что сразу получится то, что надо - но почему не попробовать? Пробуем - и вот как раз получилось. Успех.

Sonic86 в сообщении #1077712 писал(а):
В данном случае автор подбирает простую функцию $f$, задаваемую простой формулой, такую что $f((1+p)^r)=(1+p)^{r+1}$. Вот он берет $f(x)=x(1+p)$, она проста, но вообще таких функций много. Можно предположить, что часто, не имея особых догадок, действуют методом тыка, перебирая сначала простые выражения, потом - сложные.
Вообще говоря, как-то так и бывает, но именно это неравенство естественно получается из известного разложения $(1+x)^n=1+nx+C_n^2x^2+C_n^3x^3+...+x^n$ (бином Ньютона). Доказательство по индукции, я думаю, придумали уже после того, как посмотрели на бином Ньютона.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство равенств (почему так)
Сообщение28.11.2015, 20:43 


28/11/15
15
Цитата:
Насколько я понимаю, вы хотите доказать неравенство $(1+p)^r\geqslant 1+rp$ для всех целых чисел $r\geqslant 0$ и любых действительных $p>-1$. (Вы напрасно это не написали сразу, особенно если я не угадал.)


Не, это как пример.
Я спрашиваю вообще. Без увязки к конкретному равенству. Вопрос методологический.
Затык на моем пути к Олимпу математики, если хотите :))))

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство равенств (почему так)
Сообщение28.11.2015, 20:45 
Заслуженный участник


08/04/08
8519
Slav-27 в сообщении #1077720 писал(а):
Насколько я понимаю, вы хотите доказать неравенство $(1+p)^r\geqslant 1+rp$ для всех целых чисел $r\geqslant 0$ и любых действительных $p>-1$. (Вы напрасно это не написали сразу, особенно если я не угадал.)
Кстати да - напрасно.
Ostromir в сообщении #1077723 писал(а):
Не, это как пример.
И этои пример Вы не написали напрасно, потому что Вас могли не понять.

Slav-27 в сообщении #1077720 писал(а):
Вообще говоря, как-то так и бывает, но именно это неравенство естественно получается из известного разложения $(1+x)^n=1+nx+C_n^2x^2+C_n^3x^3+...+x^n$ (бином Ньютона). Доказательство по индукции, я думаю, придумали уже после того, как посмотрели на бином Ньютона.

Ага, вполне вероятно :-) Чисто для иллюстрации.
Ostromir в сообщении #1077718 писал(а):
Я вообще не понимаю, почему мы в доказательствах начинаем модифицировать равенство.
Кажется, это уже какой-то совсем другой вопрос. Если другой, я предлагаю Вам задать его подробнее, чтобы Вам отвечали именно на Ваш вопрос, а не на другой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство равенств (почему так)
Сообщение28.11.2015, 20:53 


28/11/15
15
Цитата:
Кажется, это уже какой-то совсем другой вопрос.


согласен, простите. Это из другой области.

Сейчас мне бы понять, как подходить к решению этого класса задач.

Из ответов я пока понял, что это должен быть перебор? Или все-таки, как намекнули выше, поиск многочлена сужается до элементов равенства?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство равенств (почему так)
Сообщение28.11.2015, 21:28 
Заслуженный участник


08/04/08
8519
Ostromir в сообщении #1077729 писал(а):
Сейчас мне бы понять, как подходить к решению этого класса задач.
Так я же Вам и говорю:
Sonic86 в сообщении #1077712 писал(а):
В общем случае ответа нет.
и я думаю, что ответа в принципе быть не может.
Если бы Вы сузили класс задач с класса "задачи на индукцию" на более узкий класс, то м.б. что-то и можно было бы утверждать.

Например, можно рассмотреть класс задач вида "Доказать, что $a_1+a_2+...+a_n=F(n)$", где последовательность $a_n$ и $F(n)$ известны. Вот здесь индукция делается почти автоматически, если формулы для $a_n. F(n)$ достаточно просты (например, если $a_n, F(n)$ - элементарные функции). Для класса задача "доказать данное неравенство от натуральной переменной" просто так уже сделать нельзя. Какие еще у нас бывают задачи на индукцию?

Доказательство утверждения по индукции - это частично опыт, частично - искусство.

Кстати, есть книжка Пойа Как решать задачу. М.б. Вы там найдете еще некоторые подсказки общего характера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство равенств (почему так)
Сообщение28.11.2015, 21:58 


28/11/15
15
Я понял ваш ответ.
Но в школе не озвучивался класс задач. Там было просто: докажите равенство. И если часть задач решалась преобразованием выражений по всяким там биноминальным формулам, то другая часть задач решалась именно "а давайте разделим...". Я вот читая щас книгу по математике, вспомнил, что именно эта проблема сильно озадачила меня в старших классах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство равенств (почему так)
Сообщение28.11.2015, 23:45 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
Мне кажется пример неудачный
Slav-27 в сообщении #1077720 писал(а):
доказать неравенство $(1+p)^r\geqslant 1+rp$ для всех целых чисел $r\geqslant 0$ и любых действительных $p>-1$
Даже если Куранту нравится тут индукция , а Куранта принято любить.Это просто задачка на уравнение касательной к $(1+p)^r$ в точке $p=0$, плюс определить из выпуклости, при каких (действительных, при чем тут целые) $r$ по какую сторону от кривой эта касательная расположена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство равенств (почему так)
Сообщение28.11.2015, 23:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
А разве вычисление производной от $x^r$ не требует этого самого неравенства?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство равенств (почему так)
Сообщение29.11.2015, 00:14 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
Xaositect
Не требует, но многие авторы учебников им пользуются. Хотя бы не привязывать механически случай $r=0$ к $r\geq 1$, ведь между 0 и 1 неравенство идет в обратную сторону

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство равенств (почему так)
Сообщение29.11.2015, 10:48 
Заслуженный участник


08/04/08
8519
Ostromir в сообщении #1077757 писал(а):
Я понял ваш ответ.
Но в школе не озвучивался класс задач. Там было просто: докажите равенство. И если часть задач решалась преобразованием выражений по всяким там биноминальным формулам, то другая часть задач решалась именно "а давайте разделим...". Я вот читая щас книгу по математике, вспомнил, что именно эта проблема сильно озадачила меня в старших классах.
Вот есть такой очень древний афоризм: "В математике нет царского пути". Вот это оно и есть - Вы об него и бьетесь. Нет и не может быть общего алгоритма решения задач. И для достаточно общего класса задач алгоритма тоже нет. Источник правильного хода, ведущего к ответу, может порождаться каким-то перебором действий с исходными данными, который неявно можете выполнить Вы или составитель задачи. А может и этого не хватит - м.б. потребуется просто знать решение какой-то другой, совсем иной задачи. Возможно, надо что-то просто заметить, какой-то факт или связь или что-то еще. Возможно потребуется какая-то аналогия в действиях, содержательная или синтаксическая. Часто бывает, что задачу решают каким-то длинным и сложным путем, требующим больших усилий, а потом занимаются его упрощением и обобщением. В процессе переделки решения задачи информация может теряться и после завершения переделки решение может показаться непонятно откуда взявшимся.
В школе и так времени мало на освоение дисциплин, если там будут еще и перебором заниматься - вообще времени не хватит.

Опять же: весь конструктив о решении задач Вы можете найти в упомянутой книге Пойа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство равенств (почему так)
Сообщение29.11.2015, 12:42 


28/11/15
15
Поняяяятно, а я думал, когда авторы задачников формулируют упражнение для ботанов, они где-то в условии намекают путь решения. Из чего впоследствии у ученика складывается некий навык вычленения решения задач определенного типа....
[пошел читать Куранта]

(offtop: Курант в 1941 пишет о непрактичности двоичной системы счисления. А вот оно как обернулось-то :P )

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group