Формулы для отклонений в модели случайного блуждания

[Skipper]

Я написал программу для анализа модели симметрического случайного блуждания в пространстве 1 измерения.
Моделируем следующую ситуацию.

Начальные условия - Есть система на прямой, с координатой $0$.
Каждый шаг - С вероятностью $0.5$, она смещается на $1$ вправо, и с вероятностью $0.5$ она смещается на единицу влево.
Далее, каждый следующий шаг, из текущей координаты - опять смещаем систему или вправо или влево с одинаковой вероятностью.
В рамках одного эксперимента, производим всего шагов - $N$ (я использовал в модели $10000$, и $100000$).
Примеры координат после начальных шагов - $0, 1, 2, 1, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -2, -1, 0, 1$ ...

Количество подобных экспериментов - $M$, любое достаточно большое число.

После каждого эксперимента, анализируем следующие статистические данные.

1) $A$ - Среднее арифметическое всех промежуточных координат данной системы. Другими словами - наиболее вероятная
координата, где эта система может находиться. Очевидно, т.к. блуждание симметрично, т.е. движение вправо и влево -
равновероятностное, то чем бОльшее отклонение от точки $0$ - тем мЕньшая вероятность попадания системы туда, в течении
любых $N$ шагов, после начала эксперимента. Т.е. при любом $N$, статистически, система чаще всего будет иметь координату $0$,
(пройдет через координату $0$), и после проведения эксперимента с $N$ шагами,
наиболее вероятно, $A$ $=$ Среднее арифметическое всех промежуточных координат данной системы - будет равно $0$.
Если $A$ в конечном итоге, окажется не равно $0$, это можно назвать статистической аномалией, и чем больше
$A$ отличается от $0$, тем большая статистическая аномалия получилась в ходе эксперимента.
Но проведя достаточно большое количество $M$ подобных экспериментов (для любого $N$ шагов),
найдется маловероятный эксперимент, с любой возможной статистической аномалией, т.е. даже такой, когда все
$N$ шагов пройдут только вправо или влево -
тогда получится эксперимент с самой большой статистической аномалией, и $A$ будет отличаться от $0$, больше всего.
Точно, число $A$ не определено и зависит от экспермента, т.е. это случайная величина.

В большинстве случаев, в результате увидим, эксперименты, с отсутствующей (или очень небольшой статистической аномалией),
т.е. такие, в которых $A$ получилось близко к $0$.
(Таких экспериментов из общего множества $M$, будет абсолютное большинство.)

2) $A(N)$ - число, среднее арифметическое всех $A$, после проведения $M$ экспериментов,
при $M$, стремящемся к бесконечности. Очевидно, число $A(N)$ будет стремиться к $0$,
потому случайные числа $A$ после каждого эксперимента,
наиболее вероятно, равны $0$. От числа $N$ шагов в экспериментах, это число, $A(N)$
не зависит, хотя $N$ и включено в функцию.

--

3) $B$ - Среднее арифметическое всех промежуточных координат данной системы ПО МОДУЛЮ. Другими словами, наиболее вероятное
отклонение от точки $0$, после $N$ шагов в эксперименте. Хотя наиболее вероятная
координата - $0$, но в каждый момент
есть ненулевая вероятность какого то отклонения, и если считать среднее арифметическое по модулю (т.е. неважно, отклонилась система
вправо или влево), то получим ненулевое число $B$, и чем больше шагов $N$ в эксперименте,
тем больше будет расти наиболее вероятное число $B$. К примеру, для вышеприведенного
ряда $0, 1, 2, 1, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -2, -1, 0, 1$ ... число $A$ -
среднее арифметическое координат, будет равно примерно 0, а если все отрицательные числа заменить положительными
(т.е. считать любое среднее отклонение), то их среднее арифметическое будет равно примерно $1.5$. Если провести
эксперимент с числом шагов $N = 10000$, то после этих $10000$ шагов, число $B$,
наиболее вероятное расстояние от точки $0$, будет равно примерно $80$. При этом,
с наибольшей вероятностью мы увидим после эксперимента систему именно в координатах $0$.
Чтобы было понятнее, допустим, мы провели несколько экспериментов. Увидели, после $N$ шагов, систему
с координатами:

-3: 1 случай, (расстояние 3)
-2: 2 случай, (расстояние 2)
-1: 5 случаев, (расстояние 1)
0: 15 случаев,(расстояние 0)
1: 6 случаев, (расстояние 1)
2: 2 случая. (расстояние 2)

Хотя система чаще всего оказывается с координатами $0$, но среднее расстояние от нуля всегда больше $0$,
оно равно среднему
арифметическому из всех неотрицательных чисел, $0,1,2,3$. Т.е. если заменить все отрицательные
координаты в ходе эксперимента, положительными, тогда система чаще всего будет проходить уже не через точку $0$,
а через точку с какой то положительной координатой. Это и есть число $B$ - случайное число после
каждого эксперимента.


4) $B(N)$ - число, среднее арифметическое всех $B$, после проведения $M$ экспериментов,
при $M$, стремящемся к бесконечности.
$B(N)$ зависит от $N$ шагов в экспериментах, и чем больше $N$, тем больше $B(N)$.
При достаточно большом $N$, $B(N)$ растет неограниченно, и при случайном блуждании на прямой,
мы рано или поздно попадем в любую точку на прямой.

--

5) $C$ - случайная величина, показывающая, максимальное отклонение после $N$ шагов в рамках одного эксперимента.
К примеру, в случае $N=10000$, т.е. после $10000$ шагов, наиболее вероятно, мы оказываемся на
расстоянии $80$ от нуля, (значение $B$), а вот максимальное отклонение в истории,
окажется, наиболее вероятно, примерно $125$. Это и есть величина $C$.
Оно может быть любым ($125$ - это только наиболее вероятное значение).

6) $C(N)$ - число, среднее арифметическое всех $C$, после проведения $M$ экспериментов,
при $M$, стремящемся к бесконечности. $C(N)$ зависит от $N$ шагов в экспериментах,
и чем больше $N$, тем больше $C(N)$.

--

Хотя $A,B,C$ - случайные величины, и зависят от конкретного эксперимента, величины же $A(N), B(N), C(N)$ - от
эксперимента уже не зависят, это точные числа, зависящие только от $N$. Понятное дело, $A(N)$ $= 0$.
А вот какими формулами выражаются зависимости от $N$, у чисел $B(N)$, $C(N)$ ?
Проведя много эксперментов $M$, для
$N = 10000$, я получил $B(N) = 80$; $C(N) = 125$.
$N = 100000$, я получил $B(N) = 253$; $C(N) = 397$.

Получается примерно
$B(N)$ $=$ $\sqrt{N}$$\cdot0.8$.
$C(N)$ $=$ $\sqrt{N}$$/0.8$.
Почему именно $0.8$ получилось (причем это число тоже не зависит от $N$), может быть существует какая
то более точная математическая формула, выражающая его?

[***]

Фейнман том 1, Феллер том 1.
Еще можно вспомнить определение дисперсии.