Взаимодействие пузыря и твёрдой частицы

[netang]

Здравствуйте. Я реализовал модель, которая была описана в работе Todd Allen Hay [https://www.lib.utexas.edu/etd/d/2008/hayt96603/hayt96603.pdf] пункт 2.6.3, взаимодействия пузыря с твёрдой частицей.

$\displaystyle R_1\ddot{R}_1 + \frac{3}{2}\dot{R}_1^2 = \frac{P_1-P_0}{\rho} + \frac{1}{4}U_1^2+\frac{R_{02}^3}{2d^2}\dot{U}_2-\frac{R_{02}^3}{2d^3}U_2 (U_1 + 2U_2) \\ - \frac{R_{02}^3}{4d^4}(2R_1^2\ddot{R}_1+4R_1\dot{R}_1^2) - \frac{R_{02}^3}{2d^5}[R_1^3\dot{U}_1 + 4R_1^2\dot{R}_1(U_1-U_2)],$

$\displaystyle \dot{M}_1 = -F, \quad \dot{M}_2 = F,$

$\displaystyle M_1 = \frac{1}{2}\rho V_1 U_1 - \frac{3}{2} \rho V_{02} (\frac{R_1^3}{d^3}U_2 - \frac{R_1^5}{d^5}\dot{R}_1),$

$\displaystyle M_2 = (\frac{1}{2}\rho + \rho_2)V_{02}U_2 - \frac{3}{2}\rho V_{02} (\frac{R_1^2}{d^2}\dot{R}_1 + \frac{R_1^3}{d^3}U_1),$

$\displaystyle 3 \rho V_{02}(\frac{R_1^2}{d^3}\dot{R}_1 U_2 + \frac{R_1^3}{d^4}U_1U_2 - \frac{R_1^4}{d^5}\dot{R}_1^2),$

где $\rho$ - плотность жидкости, $\rho_2$ - плотность частицы, $d$ - расстояние между центрами пузыря и частицы, $V_1 = \frac{4}{3}\pi R_1^3, \quad V_{02} = \frac{4}{3}\pi R_{02}^3$ - объемы пузыря и частицы, соответственно. $U_1, U_2$ поступательные скорости пузыря и частицы. $R_1$ - изменение радиуса пузыря со временем, $\dot{R}_1$ - радиальная скорость пузыря. Мне не понятно, здесь $d$ берётся как константа или как функция от времени? Я реализовал и так и этак, установил частицу подальше от пузыря, и в обоих случаях решение совпадает с решением уравнения Рэлея-Плессета. Не знаю как проверить корректность реализации.