Численное решение задачи N тел, при очень большом N.

[Тиманго]

Описание темы: Обзор методов численного решения задачи N тел, с числом итераций пропорциональным N, и меньше.

Задача N тел при малых N решается самым простым методом: вычисляется суммарная сила действующая на тело относительно всех других тел. Колличество итераций в этом методе пропорционально N^2.

Для решения этой задачи при большом числе N используются более сложные методы с числом итераций пропорциональным N.

Единственный известный мне метод - численное решение сеточным методом уравнения Пуассона.
Пусть тела будут материальными точками (с нулевым объёмом). Тогда объемная плотность будет задана функцией координат p(x,y,z), которая равна массе тела c координатами (x,y,z) и равна нулю елси нет тел с координатами (x,y,z).
Уравнение Пуассона связывает плотность с потенциалом:
$\left \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2} \right = -4\pi G \rho $
Общее решение этого уравнения имеет вид:

$$\varphi = -G\int_{V}^{} \frac {{\rho}dV} r$$

где r - расстояние от элемента объема dV(в данном случае от тела массы p(x,y,z)) до рассматриваемой точки поля. Представив интеграл в виде суммы получим то же самое что и в простейшем методе.

Уравнение Пуассона можно решить сеточным методом, но как? и какой конкретно метод? не знаю.
Здесь описаны методы решения уравнения Пуассона.
http://www.intuit.ru/department/calcula ... feq_6.html
Но, думаю, к данной задаче ни один из предложеных методов не применим.

-------------------
Хочу получить информацию об известных вам методах. Хотя бы названия методов.

[Freude]

Цитата:

уравнения Пуассона.

Точнее уравнение Пуассона-Больцмана (может будет полезна эта ссылка на обсуждение этой темы
http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=10248 ). Это обычное уравнение Пуассна, но заряд в правой части зависит от потенциала, т.е. получаем нелинейное уравнение. Обычное уравнение Пуассона для неподвижных зарядов не требует итерационной процедуры, оно может быть решено за одну итерацию. Однако это не единственный способ и не самый универсальный. Он применим только к системам находящимся в термодинамическом равновесии и с постоянным числом частиц. Этот метод (уравнение Пуассона-Больцмана) часто применяется чтобы посчитать потенциал Хартри - усредненный потенциал воздействия частиц на пробный заряд. Однако, часто приходится выходить за рамки приближения Хартри-Фока, тогда надо применять более общую теорию многих тел. Она формулируется как правило в терминах вторичного квантования, основана на теории возмущений и функции Грина. Лучше всего почитать на эту тему:

http://lib.mexmat.ru/books/6531
http://lib.mexmat.ru/books/5651
http://lib.mexmat.ru/books/6302

[Тиманго]

Цитата:

Обычное уравнение Пуассона для неподвижных зарядов не требует итерационной процедуры, оно может быть решено за одну итерацию.

Поясню задачу: необходимо расчитать силы действующие на каждое тело, затем ускорения тел, их скорости и новые координаты за время dt->0.
Если тел слишком много, то для быстрого вычисления требуется такой метод в при котором ВРЕМЯ ВЫЧИСЛЕНИЙ пропорционально N или меньше.(а не N^2)

[Freude]

Что у Вас в правой части уравнения Пуассона?
Вы считаете не одно уравнение Пуассона, а систему уравнений?

Общее решение

$$\varphi = -G\int_{V}^{} \frac {{\rho}dV} r$$

неверно, если

$$\rho$$

зависит от

$$\varphi$$

.

Если вы считаете уравнение Пуассона совместно с уравнениями механики, то, скорее всего, сходимость будет отсутсвовать.

[zbl]

Тиманго писал(а):

Задача N тел при малых N решается самым простым методом: вычисляется суммарная сила действующая на тело относительно всех других тел. Колличество итераций в этом методе пропорционально N^2.

Для решения этой задачи при большом числе N используются более сложные методы с числом итераций пропорциональным N.

$N^2$ можно превратить в $N$ только, если взаимодействие существенно лишь между частицой и несколькими рядами её ближайших соседей (что обычно и бывает), либо за счёт потери точности результата; предельный случай такой потери -- это статмеханика.

Тиманго писал(а):

Пусть тела будут материальными точками (с нулевым объёмом). Тогда объемная плотность будет задана функцией координат p(x,y,z), которая равна массе тела c координатами (x,y,z) и равна нулю елси нет тел с координатами (x,y,z).

Нет таких функций.
Плотность будет равна бесконечности в точке $(x,y,z)$ и равна нулю в других точках.
При этом интеграл от $\rho(x,y,z)$ по всему пространству будет таки равен сумме масс частиц.

Тиманго писал(а):

Уравнение Пуассона связывает плотность с потенциалом:
$\left \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2} \right = -4\pi G \rho $
Общее решение этого уравнения имеет вид:

$$\varphi = -G\int_{V}^{} \frac {{\rho}dV} r$$

Если подставите сюда правильную $\rho(x,y,z)$ (как я её описал выше), то ничего, кроме того же самого суммирования $N^2$ сил взаимодействий не получите.
То есть, никакого $N$ вместо $N^2$, только записав уравнение Пуассона, добится не удастся.

Тиманго писал(а):

Уравнение Пуассона можно решить сеточным методом, но как? и какой конкретно метод? не знаю.

Прежде, чем решать, нужно бы его сначала правильно записать...

[Freude]

Цитата:

Плотность будет равна бесконечности в точке $(x,y,z)$ и равна нулю в других точках.

Возможно я ошибаюсь, но мне кажется, что в такой постановке задача не решается. Нужно, если число частиц действительно велико, перейти в пределе к их непрерывному распределению. Но и в этом случае задача нерешаема, надо избавиться от сингулярностей в силах взаимодействия (по Кулону они взаимодействуют, если я правильно понял). Для этого надо добавить фоновый, постоянный, распределенный по всему пространству положительный заряд (если задача выше об электронах). Если я неправ, и такая задача решалась, было бы любопытно взглянуть на решение.

[zbl]

Freude писал(а):

Возможно я ошибаюсь, но мне кажется, что в такой постановке задача не решается.

В такой постановке уравнение Пуассона совершенно эквивалентно обычной сумме по $N^2$ парам частиц.

Freude писал(а):

Нужно, если число частиц действительно велико, перейти в пределе к их непрерывному распределению.

Разумеется.
Вопрос только в том, что мы хотим потерять в результате такого перехода.
Например, разумнее всего отказаться от получения точных траекторий частиц.
Действительно, зачем они могут быть нужны все? частиц ведь немерено -- даже визуализировать/анализировать кучу их траекторий будет сложно.

Freude писал(а):

Но и в этом случае задача нерешаема, надо избавиться от сингулярностей в силах взаимодействия (по Кулону они взаимодействуют, если я правильно понял). Для этого надо добавить фоновый, постоянный, распределенный по всему пространству положительный заряд (если задача выше об электронах).

А фоновый заряд как-то поменяет закон Кулона?
Энергия взаимодействия элементарного заряженного объёма самого с собой всё равно будет бесконечной.

Freude писал(а):

Если я неправ, и такая задача решалась, было бы любопытно взглянуть на решение.

Такая -- это какая?
Уравнение Пуассона для системы точечных зарядов -- это только другая запись старой-доброй суммы по $N^2$ парам частиц.
Можно, например, размазать $\delta$-функции, соответствующие точечным зарядам, а потом решать уравнение Пуассона.
Какой-то результат наверняка получится.
Но он будет в какой-то степени зависеть от алгоритма того размазывания.
В любом случае выигрыш в плане замены $N^2$ на $N$ будет ровно таким же, как если бы в старой-доброй сумме учитывать взаимодействие только нескольких рядов ближайших соседей.

[Freude]

Цитата:

А фоновый заряд как-то поменяет закон Кулона?

Цитата:

Такая -- это какая?

Не могу понять речь и идет о системе подвижных или неподвижных зарядов. Если есть подвижные заряды, то, мне кажется, невозможно будет найти самосогласованное решение, оно будет расходящимся, т.к. электроны будут разлетаться на бесконечность. Если мы введем фоновый заряд, то он будет удерживать их (это, как я понимаю, так называемая "gellium model"). Этот же фоновый заряд, избавляет нас от сингулярности при взаимодействии заряда самим с собой, так как в точке, простраства, где заряд должен провзаимодействовать сам с собой присутствует еще и положительный заряд. Положительный заряд тоже взаимодействует сам с собой, при этом тоже есть сингулярность. Она имеет тот же порядок, что и при электрон-электронном взаимодействии, но с обратным знаком, т.е. они (сингулярности) вычитаются.

Если же речь идет о неподвижных зарядах, то зачем тогда итерации?

Цитата:

Разумеется.
Вопрос только в том, что мы хотим потерять в результате такого перехода.
Например, разумнее всего отказаться от получения точных траекторий частиц.
Действительно, зачем они могут быть нужны все? частиц ведь немерено -- даже визуализировать/анализировать кучу их траекторий будет сложно.

С этим согласен, это вопрос числа частиц.

[zbl]

Freude писал(а):

Не могу понять речь и идет о системе подвижных или неподвижных зарядов.

В первоначальной постановке -- о системе подвижных зарядов (про зарады, правда, автор темы не говорил, а только об $N$ взаимодействующих частицах).
Случай неподвижных зарядов аналогичен (если искать, например, энергию взаимодействия неподвижной системы зарядов).

Freude писал(а):

Если есть подвижные заряды, то, мне кажется, невозможно будет найти самосогласованное решение, оно будет расходящимся, т.к. электроны будут разлетаться на бесконечность.

Тут "самосогласованное" означает "финитное"?
Ну и что, что разлетятся?
Всё зависит от задачи; например, может быть и хотелось бы узнать, за какое время они разлетяться на расстояние не меньше, чем в километр?

Freude писал(а):

Если мы введем фоновый заряд, то он будет удерживать их (это, как я понимаю, так называемая "gellium model").

Зависит от того, как будет распределён положительный заряд: если, например, равномерно по пространству, то никого он не удержит.
Непонятно, зачем вообще вводить фоновый заряд? решение не будет тогда иметь отношение к действительности.

Freude писал(а):

Этот же фоновый заряд, избавляет нас от сингулярности при взаимодействии заряда самим с собой, так как в точке, простраства, где заряд должен провзаимодействовать сам с собой присутствует еще и положительный заряд.

Но в тех точках, где отрицательный заряд отсутствует, сингулярность положительного заряда ничем не компенсируется.
Если же положительный заряд находится только там же, где и отрицательный, то заряд равен везде нулю и всё.

Freude писал(а):

Если же речь идет о неподвижных зарядах, то зачем тогда итерации?

Если вычислять энергию взаимодействия, то снова придётся складывать $N^2$ слагаемых, а то при больших $N$ нереально.

[Freude]

Цитата:

Зависит от того, как будет распределён положительный заряд: если, например, равномерно по пространству, то никого он не удержит.

Распределенный положительный заряд подбирается таким образом, что бы система была вцелом нейтральна. В этом случае они никуда не разлетятся.

Цитата:

Тут "самосогласованное" означает "финитное"?
Ну и что, что разлетятся?
Всё зависит от задачи; например, может быть и хотелось бы узнать, за какое время они разлетяться на расстояние не меньше, чем в километр?

Финитное - это финитное, а самосогласованное - это самосогласованное. Самосогласованное означает, что итерационный процесс когда-нибудь сойдется. Какой тогда смысл решать уравнение Пуассона? Как из уравнения Пуассона получить потенциал, зависящий от времени? Незабываем, что правая часть (заряд) зависит от потенциала, так как распределение заряда определяется формой потенциала. Для каждого момента времени решить его не получитcя, так как решение не сойдется.

Цитата:

Непонятно, зачем вообще вводить фоновый заряд? решение не будет тогда иметь отношение к действительности

Конечно будет, это простейшая модель твердого тела типа металла или полупроводника.

Цитата:

Но в тех точках, где отрицательный заряд отсутствует, сингулярность положительного заряда ничем не компенсируется.
Если же положительный заряд находится только там же, где и отрицательный, то заряд равен везде нулю и всё.

Этой проблемы не возникает, если мы перейдем к непрерывному распределению электронов.

[zbl]

Freude писал(а):

какой тогда смысл решать уравнение Пуассона? Как из уравнения Пуассона получить потенциал, зависящий от времени?

Вообще-то это вопрос не ко мне, а к автору предложения использовать тут уравнение Пуассона...
Я хотел только высказать ту мысль, что, если даже записать правильно уравнение для непрерывного распределения, то никакого выигрыша в эффективности расчёта не получится.

Freude писал(а):

Цитата:

Непонятно, зачем вообще вводить фоновый заряд? решение не будет тогда иметь отношение к действительности

Конечно будет, это простейшая модель твердого тела типа металла или полупроводника.

Я запутался.
Мы начали с задачи, в которой имеется $N$ взаимодействующих тел, и надо найти траектори их движения, если $N$ велико.
Причём тут металл и уравнение Пуассона я уже перестал понимать.

Freude писал(а):

Цитата:

Но в тех точках, где отрицательный заряд отсутствует, сингулярность положительного заряда ничем не компенсируется.
Если же положительный заряд находится только там же, где и отрицательный, то заряд равен везде нулю и всё.

Этой проблемы не возникает, если мы перейдем к непрерывному распределению электронов.

А куда она девается?
Энергия взаимодействия самого с собой малого объёма положительного заряда бесконечна, отрицательного -- тоже.
Но, если эти энергии компенсируют друг-друга, то и заряды равны.
Тогда заряд везде равен нулю и всё?

Freude писал(а):

Цитата:

Если вычислять энергию взаимодействия, то снова придётся складывать $N^2$ слагаемых, а то при больших $N$ нереально.

Да, но при чем тут уравнение Пуассона?

Чесно говоря, уже не помню...

[Freude]

Да, похоже, все, что я написал, оффтоп.

Цитата:

А куда она девается?
Энергия взаимодействия самого с собой малого объёма положительного заряда бесконечна, отрицательного -- тоже.
Но, если эти энергии компенсируют друг-друга, то и заряды равны.
Тогда заряд везде равен нулю и всё?

Поскольку объем бесконечно мал, то взаимодействие его самого с собой конечно (мне это объяснили на этом форуме здесь http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=8924&start=15 ), однако если мы проинтегрируем по всему пространству получим сингулярность. Автокорреляция будет равна бесконечности. Это касается и положительного и отрицательного зарядов. Однако, поскольку всреднем заряды равны, то получим ноль от вычитания бесконечностей. Всреднем - это не означает, что локально заряды всюду равны. На фоне положительного заряда могут быть разные изменения и флуктуации отрицательного заряда. Так что энергия электронов и фонового заряда не равна нулю. Эта модель и направлена на вычисление этой энергии и пространственного распределения электронов. Энергия эта носит название энергии Хартри. Но это все оффтоп. До меня дошло, что Вы говорили о задаче, когда надо посчитать самосогласовано уравнения динамики для каждой частицы. Я не знаю как это делается.

Цитата:

$N$ взаимодействующих тел

Написанным выше я хотел сказать, что проблема взаимодействующих отрицательно заряженных $N$ тел вполне решаема на фоне положительного заряда. В случае его отсутствия я лично вижу проблемы получить какое-нибудь решение. Может потому, что я всего лишь не знаю, как решить задачу о "множестве разлетающихся электронов".

Куда модераторы смотрят, оффтоп идет!
Идет не только оффтоп, но и Новый год.
Кстати, с наступающим всех!
Кажется, я раньше всех в этом году поздравлять начал