2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Приближенное значение корня степени n из числа
Сообщение24.11.2015, 23:51 


22/11/15
101
Есть ли какой-то максимально простой алгоритм, дающий на выходе приближенное значение корня степени $n$?

Например, чтобы извлекать быстро корни из натуральных чисел, с точностью до сотых долей.

Знаю, что есть формула $\displaystyle\sqrt[n]{1+x}\approx 1+\frac{x}{n}$, она же работает при маленьких $x$.

Где-то давно читал, что как-то можно подгонять к этой формуле, обойдя ограничение $x\to 0$. Но как? (пока что не получается вспомнить)

Есть ли еще какие-то хорошие (быстрые) способы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Приближенное значение корня степени n из числа
Сообщение24.11.2015, 23:58 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
19481
Кронштадт
toreto в сообщении #1076433 писал(а):
Знаю, что есть формула $\displaystyle\sqrt[n]{1+x}\approx 1+\frac{x}{n}$, она же работает при маленьких $x$.

Где-то давно читал, что как-то можно подгонять к этой формуле, обойдя ограничение $x\to 0$. Но как? (пока что не получается вспомнить)
Вынести в качестве множителя близкое к подкоренному число, корень из которого известен. Например, что-нибудь в таком роде
$$
\sqrt{27} = \sqrt{\frac{25 \cdot 27}{25}} = 5 \,\sqrt{1+\frac{2}{25}} = \dots
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Приближенное значение корня степени n из числа
Сообщение25.11.2015, 15:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
6817
Москва
А что нужно? В уме, на компьютере, скажем, на сигнальном процессоре без развитой арифметики, на калькуляторе?
Общий подход - через логарифмы. $\sqrt[n]{x}=e^{\ln x/n}$. В стандарте IEEE машинной арифметики аппаратный логарифм есть, и работает быстро.
Можно формулу Герона обобщить на корни более высокой степени. Собственно, это применение метода Ньютона решения нелинейного уравнения
$f(x)=x^n=a$
$x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)-a}{f'(x_k)}=\frac{(n-1)x_k}{n}+\frac {a}{nx_k^{n-1}}$ начав с какого-то подходящего $x_0$
Можно разделить на близкое число Z, корень из которого Q известен, а затем использовать $\sqrt[n]{X}=\sqrt[n]{Z(1+\frac{X-Z}Z)}=\sqrt[n]{Z(1+d)}=Q\sqrt[n]{1+d}\approx Q(1+\frac d n)$
Первый способ для реализации на PC и т.п. машинах с нормальной арифметикой, второй для расчётов на калькуляторе, сигнальном процессоре и т.п., где 4 действия есть, а логарифмов нету, третий для прикидок в уме (включая "кидание понтов" а ля "Фейнман в кабаке морально унижает японца с калькулятором", но и для "грубых инженерных оценок" тоже).

 Профиль  
                  
 
 Re: Приближенное значение корня степени n из числа
Сообщение27.11.2015, 14:45 


22/11/15
101
Спасибо, имелось ввиду в уме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приближенное значение корня степени n из числа
Сообщение27.11.2015, 18:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71549
Pphantom в сообщении #1076435 писал(а):
Вынести в качестве множителя близкое к подкоренному число, корень из которого известен.

Для этого, при расчётах в уме, очень полезно заучить таблицу умножения где-то до 30-32. Сам её не знаю :-)

-- 27.11.2015 18:22:38 --

Всего лишь, таблицу квадратов. Это проще.

А потом можно и кубов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приближенное значение корня степени n из числа
Сообщение27.11.2015, 20:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
6817
Москва

(Оффтоп)

Да... Помнится, я в школе на спор научился вычислять в уме корни квадратные с четырьмя знаками. По степени полезности этот мой талант находился между двумя другими - задерживать дыхание и шевелить ушами...

 Профиль  
                  
 
 Re: Приближенное значение корня степени n из числа
Сообщение27.11.2015, 21:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71549
Евгений Машеров в сообщении #1077447 писал(а):
По степени полезности этот мой талант находился между двумя другими - задерживать дыхание и шевелить ушами...

Я бы не сказал. Зависит от области. Например, хоть я и не умею считать квадратные корни, но вообще навыки быстрого приближённого счёта "в уме" много мне помогли в физике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приближенное значение корня степени n из числа
Сообщение27.11.2015, 21:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6150
Евгений Машеров в сообщении #1077447 писал(а):
вычислять в уме корни квадратные ... задерживать дыхание и шевелить ушами...
Уж очень интересы были схожи :) Так вот я и ушами на спор научился -- вычитал в книжке лет в 9-10, что это мышцы и их можно развить. Это был ценный опыт -- понять, что мозг можно перевести из состояния "полного непонимания, как сделать", в состояние "получается автоматически".

 Профиль  
                  
 
 Re: Приближенное значение корня степени n из числа
Сообщение27.11.2015, 21:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
26188

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #1077447 писал(а):
По степени полезности этот мой талант находился между двумя другими - задерживать дыхание и шевелить ушами...
Задерживать дыхание, как понимаю, оценка верхняя, а не нижняя? :-) Это же выглядит довольно практичным навыком!

 Профиль  
                  
 
 Re: Приближенное значение корня степени n из числа
Сообщение28.11.2015, 00:03 


22/11/15
101
Ну можно и с бумажкой, но когда компа и калькулятора нет под рукой, например -- но неплохо бы знать как быренько прикинуть, например, корень кубический из двух...итп)

 Профиль  
                  
 
 Re: Приближенное значение корня степени n из числа
Сообщение28.11.2015, 01:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71549
Корень кубический из двух полезно знать наизусть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приближенное значение корня степени n из числа
Сообщение28.11.2015, 02:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
8219
Munin в сообщении #1077529 писал(а):
Корень кубический из двух полезно знать наизусть.
Только если часто считаешь на декартовой сетке...

 Профиль  
                  
 
 Re: Приближенное значение корня степени n из числа
Сообщение28.11.2015, 09:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
6817
Москва
Munin в сообщении #1077474 писал(а):
Евгений Машеров в сообщении #1077447 писал(а):
По степени полезности этот мой талант находился между двумя другими - задерживать дыхание и шевелить ушами...

Я бы не сказал. Зависит от области. Например, хоть я и не умею считать квадратные корни, но вообще навыки быстрого приближённого счёта "в уме" много мне помогли в физике.


Ну, я б сказал так:
Вообще принципы приближённого счёта - фундаментальное знание.
Умение "прикидывать" с точностью 1-2 знака и оценкой погрешности - полезный навык.
А вот расчёт в уме одной-единственной функции, но с четырьмя знаками, при том, что уже были калькуляторы с корнем ("инженерные" и "расширенные экономические"), а уж таблицы были массовым продуктом - это чистое умение показывать фокусы.

-- 28 ноя 2015, 09:48 --

arseniiv в сообщении #1077486 писал(а):

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #1077447 писал(а):
По степени полезности этот мой талант находился между двумя другими - задерживать дыхание и шевелить ушами...
Задерживать дыхание, как понимаю, оценка верхняя, а не нижняя? :-) Это же выглядит довольно практичным навыком!


Просто задержка "на суше" - чистый фокус (хотя, сбереги я этот навык доныне, мог бы поставить на себе интересные эксперименты, скажем, в связи с ЭЭГ), а вот под водой... Хотя умение пронырнуть 25 метров бассейна тоже практически мне не понадобилось, но возможности его применения уже просматриваются.

-- 28 ноя 2015, 10:08 --

Munin в сообщении #1077529 писал(а):
Корень кубический из двух полезно знать наизусть.


Для квадратного из двух помню мнемонику:
Цитата:
Я Маша, я дура, но я вот взяла корень из двух.

Для квадратного из трёх 1.7320508075688772935... можно придумать:
Цитата:
И монтёру оно не перегрузка - знать квадратный вольтажа

(имеется в виду соотношение между линейным и фазным в электротехнике)
А для кубического такая есть?

-- 28 ноя 2015, 10:35 --

Главка из Гарднера
http://stepanov.lk.net/mnemo/mg21.html

Попробую придумать мнемонику:
1.25992104989
Цитата:
И ты, детка, прекрасно вспомнишь: Оп! и кубический трёх получается отличный роскошный

(здесь и выше число 0 кодируется десятибуквенным слово, а ля телефон с диском...)

 Профиль  
                  
 
 Re: Приближенное значение корня степени n из числа
Сообщение28.11.2015, 20:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71549
Евгений Машеров в сообщении #1077597 писал(а):
А вот расчёт в уме одной-единственной функции, но с четырьмя знаками, при том, что уже были калькуляторы с корнем ("инженерные" и "расширенные экономические"), а уж таблицы были массовым продуктом - это чистое умение показывать фокусы.

Ну разумеется, полезнее знать несколько функций, хотя бы и не с четырьмя знаками!
А ещё полезно уметь эти четыре знака дорассчитать при необходимости.

В "Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!" есть целая глава про счёт в уме.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group