Система ДУ

[Бабай]

Здравствуйте, Народ!

Вот пытаюсь подобрать функцию Ляпунова, чтоб проверить на устойчивость в нуле следующую систему:
$\dot{x}=4y,\dot{y}=-x^4-x.$
Сия система гамильтонова с $H(x,y)=2y^2+\frac{1}{5}x^5+\frac{1}{2}x^2$.
Пытался переделать функцию Гамильтона, перемешивая переменные, чтоб например получилось по ходу выразить полный квадрат и получить строго положительную функцию. Никак не получается из этого нормальной (неположительной вне нуля) производной.

Ведь не должно быть трудно для такой простенькой системы! Может кто-то с ходу подскажет?

[iancaple]

А как выглядят линии $H(x,y)=\varepsilon$ ?

[Бабай]

Интересно выглядит. Имеется локальный минимум в нуле и локальный максимум где-то между 1/4 и 1/3.
Видимо Вы клоните к тому, чтобы около нуля употребить что-то по типу $L=2y^2+\frac{1}{2}x^2$, или как?

[iancaple]

Не могу больше говорить загадками. Если маленький эллипс пошевелить очень-очень мало, то это будет опять замкнутая кривая, она же периодическое решение системы, и что тут сказать про устойчивость, если периодичность говорит больше.

[Бабай]

Да это конечно ясно уже из фазового портрета. Я тоже уже сообразил, что положение равновесия устойчиво, но тут требуется всё делать через функцию Ляпунова. Только усмотреть её что-то не получается!
Всё равно благодарю за разъяснение.

[iancaple]

Доказать, что $H(x,y)$ положительна в некоторой проколотой окрестности нуля- она и годится как функция Ляпунова