Путь, скорость и ускорение.

[Charlz_Klug]

Пожалуйста, проверьте решение задачи.

Задача:
Уравнение движения точки имеет вид $x = \sin{(\frac{\pi}{3} t)}$. Найти моменты времени, в которые достигаются максимальная скорость и максимальное ускорение.

Решение:
Скорость - это производная от пути. Тогда $\upsilon = \dot{x} = (\sin{(\frac{\pi}{3} t)})' = \frac{\pi}{3} \cdot \cos{(\frac{\pi}{3} t)} $. Поскольку модуль скорости не может быть отрицательным, то нужно взять по модулю: $\upsilon = \left\lvert \frac{\pi}{3} \cdot \cos{(\frac{\pi}{3} t)} \right\rvert$. Теперь нужно решить уравнение $ \left\lvert \cos{(\frac{\pi}{3} t)} \right\rvert = 1$, $\frac{\pi}{3} t = \pi k, k\in\mathbb{Z} \Rightarrow t = 3 k, k\in\mathbb{Z}$.

Ускорение - это производная от скорости. Тогда $a = \dot{\upsilon} = (\frac{\pi}{3} \cdot \cos{(\frac{\pi}{3} t)})' = - (\frac{\pi}{3})^2 \sin{(\frac{\pi}{3} t)}$. Опять берём по модулю: $a = \left\lvert - (\frac{\pi}{3})^2 \sin{(\frac{\pi}{3} t)} \right\rvert = (\frac{\pi}{3})^2 \left\lvert \sin{(\frac{\pi}{3} t)} \right\rvert$. Решаем уравнение $\left\lvert \sin{(\frac{\pi}{3} t)} \right\rvert = 1 \Rightarrow \frac{\pi}{3} t = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \Rightarrow t = \frac{3}{2} (1 + 2k), k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: максимальная скорость достигается при $t = 3 k, k\in\mathbb{Z}$, максимальное ускорение достигается при $t = \frac{3}{2} (1 + 2k), k \in \mathbb{Z}$.

[Pphantom]

Charlz_Klug в сообщении #1075994 писал(а):

Пожалуйста, проверьте решение задачи.

Вроде все правильно.

[Charlz_Klug]

Pphantom в сообщении #1075997 писал(а):

Вроде все правильно.

Спасибо.

[Munin]

Charlz_Klug в сообщении #1075994 писал(а):

максимальная скорость достигается при $t = 3 k, k\in\mathbb{Z}$, максимальное ускорение достигается при $t = \frac{3}{2} (1 + 2k), k \in \mathbb{Z}$.

Если записать вторую формулу как $t=3(k+\tfrac{1}{2}),\quad k\in\mathbb{Z},$ то будет наглядно видно, что моменты максимумов скорости и ускорения чередуются друг с другом.

Впрочем, это довольно банальное следствие из матанализа.

[Charlz_Klug]

Munin в сообщении #1076052 писал(а):

Если записать вторую формулу как $t=3(k+\tfrac{1}{2}),\quad k\in\mathbb{Z},$ то будет наглядно видно, что моменты максимумов скорости и ускорения чередуются друг с другом.

Спасибо.