Прошу проверить доказательство, не уверен в правильности и простоте второй части.
Докажите, что столбцы вещественной прямоугольной матрицы

линейно независимы тогда и только тогда, когда линейно независимы столбцы матрицы

Ну пусть матрица

вырождена, то поскольку ранг произведения не больше рангов сомножителей имеем:

и матрица

вырождена.
Обратно, пусть матрица

вырождена, что тогда делать
Примерный вариант:
Если матрица

где

скалярное произведение строк матрицы

при чем все строки ненулевые
вырождена, то один из столбцов (пускай последний) является ненулевой линейной комбинацией остальных:

И значит по свойству скалярного произведения для некоторых коэффициентов

имеем систему равенств:


...

Если вектор

не ортогонален всем векторам

одновременно, то из

для некоторого k следует, что он равен нулю и значит система строк

линейно зависима (то есть матрица

вырождена чтд), но вектор

действительно не ортогонален всем векторам

сразу, ибо он по ним раскладывается.