2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задачка на невырожденность матрицы
Сообщение22.11.2015, 22:47 


23/11/09
173
Прошу проверить доказательство, не уверен в правильности и простоте второй части.
Докажите, что столбцы вещественной прямоугольной матрицы $A_{nm}$ линейно независимы тогда и только тогда, когда линейно независимы столбцы матрицы $A_{nm}A_{nm}^T$
Ну пусть матрица $A_{nm}$ вырождена, то поскольку ранг произведения не больше рангов сомножителей имеем: $Rg(A_{nm}A_{nm}^T)<n$ и матрица $A_{nm}A_{nm}^T$ вырождена.
Обратно, пусть матрица $A_{nm}A_{nm}^T$ вырождена, что тогда делать :?:
Примерный вариант:
Если матрица $$
A_{nm}A_{nm}^T=\begin{Vmatrix}
a_{ij}=(s_i,s_j)
\end{Vmatrix}
​$$​ где $(s_i,s_j)$ скалярное произведение строк матрицы $A_{nm}$ при чем все строки ненулевые
вырождена, то один из столбцов (пускай последний) является ненулевой линейной комбинацией остальных:
$$
a_1\begin{bmatrix}
(s_1,s_1) \\
\cdots \\
(s_n,s_1)  
\end{bmatrix}
+\cdots+
a_{n-1}\begin{bmatrix}
(s_1,s_{n-1}) \\
\cdots \\
(s_n,s_{n-1})  
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
(s_1,s_n) \\
\cdots \\
(s_n,s_n)  
\end{bmatrix}
\qquad
​$$
И значит по свойству скалярного произведения для некоторых коэффициентов $(a_1,...,a_{n-1})$ имеем систему равенств:
$(s_1,a_1s_1+a_2s_2+\cdots-s_n)=0$
$(s_2,a_1s_1+a_2s_2+\cdots-s_n)=0$
...
$(s_n,a_1s_1+a_2s_2+\cdots-s_n)=0$
Если вектор $a_1s_1+a_2s_2+\cdots-s_n$ не ортогонален всем векторам $s_1,...,s_n$ одновременно, то из $(s_k,a_1s_1+a_2s_2+\cdots-s_n)=0$ для некоторого k следует, что он равен нулю и значит система строк $(s_1,s_2,...s_n)$ линейно зависима (то есть матрица $A_{nm}$ вырождена чтд), но вектор $a_1s_1+a_2s_2+\cdots+s_n$ действительно не ортогонален всем векторам $s_1,...,s_n$ сразу, ибо он по ним раскладывается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка на невырожденность матрицы
Сообщение23.11.2015, 09:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5730
Новосибирск
deep blue в сообщении #1075805 писал(а):
Докажите, что столбцы вещественной прямоугольной матрицы $A_{nm}$ линейно независимы тогда и только тогда, когда линейно независимы столбцы матрицы $A_{nm}A_{nm}^T$

Пусть матрица $A$ имеет один ненулевой столбец.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка на невырожденность матрицы
Сообщение23.11.2015, 09:51 


23/11/09
173
Извиняюсь, правильно читать так:
Докажите, что строки вещественной прямоугольной матрицы $A_{nm}$ линейно независимы тогда и только тогда, когда линейно независимы строки матрицы $A_{nm}A_{nm}^T$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка на невырожденность матрицы
Сообщение23.11.2015, 11:20 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
deep blue в сообщении #1075805 писал(а):
Обратно, пусть матрица $A_{nm}A_{nm}^T$ вырождена, что тогда делать :?:

Как Вы метко заметили, это -- матрица Грама для строк исходной матрицы: $A\,A^T=G\ \Leftrightarrow\ g_{ik}=(\vec a_k,\vec a_i)$. И если она вырождена, т.е. если $G\vec x=\vec0$, то тем более $(G\vec x,\vec x)=0$. Однако последнее выражение есть в точности $\left\|\sum\limits_{i}x_i\vec a_i\right\|^2$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group