2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Эргодичность поворота окружности с мерой Лебега
Сообщение22.11.2015, 17:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
925
матмех спбгу
Пусть $\mu$ - нормированная мера Лебега, заданная на борелевской $\sigma$-алгебре $\mathcal{B}$ подмножеств окружности $S^1.$ Пусть $\alpha$ - некоторое иррациональное число. Поворот окружности определяется как $\varphi : S^1 \to S^1$, где $\varphi (\theta) = \theta + \alpha\mod 1.$ Ясно, что мера Лебега инвариантна относительно $\varphi$, т.е. $\mu(\varphi(C))=\mu(C) \ \forall C \in \mathcal{B}.$ Нужно доказать эргодичность меры Лебега, т.е. справедливость утверждения
$$\forall C \in \mathcal{B}\left(\varphi(C)=C \Rightarrow \mu(C)=0 \lor \mu(C)=1\right)$$

Для доказательства используем эквивалентное условие эргодичности:
$$\forall C \in \mathcal{B}\left(\mu(C)>0 \Rightarrow \mu\left(\bigcup\limits_{k=-\infty}^{+\infty}\varphi^k(C)\right) = 1\right)$$
Пусть $C \in \mathcal{B}$ и $\mu(C)>0$. Тогда для произвольного $\varepsilon \in (0;1)$ найдется ячейка(полуоткрытая дуга) $P$, такая, что $$\mu(C \cap P) > (1-\varepsilon)\mu(P).$$
Пусть натуральное число $N$ такого, что $N\mu(P) \leq 1$ и $(N+1)\mu(P) > 1.$ Т.е. окружность представляется как $N$ сдвигов ячейки $P$ на величину кратную ее длине(ячейки вида $P_k = P + k\mu(P)$, где $0 \leq k \leq N-1$) плюс кусочек, меньшей длины, чем $P$, обозначим его $R$. В силу иррациональности $\alpha$, орбита всякой точки является всюду плотным множеством. Другими словами, ячейку $P_k$ можно сколь угодно приблизить итерациями ячейки $P$, а кусочек меньшей длины $R$ и вовсе накрыть. Таким образом, имеем неравенство
$$\mu\left(\bigcup\limits_{k=-\infty}^{+\infty}\varphi^k(C)\right) \geq \sum\limits_{k=0}^{N-1}\mu(C \cap P_k) + \mu(R) \geq (1-\varepsilon)N\mu(P) + 1-N\mu(P)$$
С учетом того, что $\frac{1}{N+1} \leq \mu(P) \leq \frac{1}{N}$, получаем
$$\mu\left(\bigcup\limits_{k=-\infty}^{+\infty}\varphi^k(C)\right) \geq 1-\frac{\varepsilon}{2},$$
где $\varepsilon$ можно выбрать сколь угодно малым. Утверждение доказано.

Традиционный вопрос: всё ли правильно и можно ли доказать короче?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group