Кардинал больше соответствующего ординала?

[revenalp]

$\aleph_\alpha > \left\lvert\alpha\right\rvert$ для любого ординала $\alpha$ в ZFC? Кажется очевидным, но не могу получить противоречие по индукции для предельного $\alpha$, что $(\forall\beta < \alpha )(\aleph_\beta > \left\lvert\beta\right\rvert) \Rightarrow \aleph_\alpha > \left\lvert\alpha\right\rvert$

[Xaositect]

Это неверно.
Если мы построим последовательность кардиналов $\kappa_0 = 0$; $\kappa_{n + 1} = \aleph_{\kappa_n}$ и возьмем предел $\kappa = \bigcup\limits_{n\in\omega} \kappa_n$, то $\kappa = \aleph_{\kappa}$.

[revenalp]

Xaositect в сообщении #1075680 писал(а):

Это неверно.
Если мы построим последовательность кардиналов $\kappa_0 = 0$; $\kappa_{n + 1} = \aleph_{\kappa_n}$ и возьмем объединение $\kappa = \cup\limits_{n\in\omega} \kappa_n$, то $\kappa = \aleph_{\kappa}$.

Значит, не зря у меня не получилось это доказать. Контринтуитивно, но интересно.
Значит, правильно: $\aleph_\alpha \geqslant \left\lvert\alpha\right\rvert$.
Попробую доказать приведённое вами равенство. Спасибо!