2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Ограничения на псевдообратные матрицы
Сообщение21.11.2015, 13:05 


20/11/15
10
Добрый день!

Буду рад, если кто-нибудь подскажет или хотя бы даст вектор, куда копать по следующему вопросу:
есть выражение $ABC$, где $A, B, C$ -- вектора соответствующих размеров, в результате произведения дающие квадратную матрицу. Матрицы $A, C$ не квадратные.

Требуется из знания выражения $D=ABC$ найти $B$.

Первой мыслью было использовать операцию взятия псевдообратнлой матрицы (зная, что это есть минимизация квадратов отклонений), то есть $B=A^{\dagger}DC^{\dagger}$. Как я понял, для того, чтобы матрица существовала, необходимо, чтобы существовало $(A^{\mathrm{T}}A)^{-1}$, то есть $\det(A^{\mathrm{T}}A)\neq 0$.

Пусть тогда есть матрица $D=\begin{bmatrix} d_{1} & d_{2} \\ d_{3} & d_{4}\end{bmatrix}$, $A=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}$, тогда находя по вышеуказанным формулам получается $B=d_{3}$, подставляя обратно в $D=ABC$: $D=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ d_{3} & 0 \end{bmatrix}$, то есть вычеркиваются элементы из-за вида матриц $A, C$. Решал через матлаб, для такой $C$ он находит псевдообратную матрицу справа, если я правильно все понял.

Вопрос заключается в том, какие должны быть ограничения на $A, C$ чтобы получить корректную $B$. Если я опять же правильно понимаю, то вопрос заключается в том, чтобы размеры подпространств совпадали с $D$ или не так?

Благодарю за любую помощь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Ограничения на псевдообратные матрицы
Сообщение21.11.2015, 13:35 
Заслуженный участник


16/02/13
3899
Владивосток
Texture в сообщении #1075438 писал(а):
$A, B, C$ -- вектора... Матрицы $A, C$ не квадратные
(Размахивает руками, отгоняя видение неквадратных векторов)
Насколько я помню, псевдообратная матрица определяется соотношением $AA^\dagger A=A$. Подставляя ваше $B$ в уравнение, получаем $ABC=AA^\dagger D C^\dagger C$. Как-то мне не очевидно, что это есть $D$.

-- 21.11.2015, 20:38 --

При заданных $A,C,D$ получаем систему линейных уравнений на компоненты $B$. Я б как-нить построил и попытался решить десяток примеров (разумеется, не руками и калькулятором).

-- 21.11.2015, 20:42 --

Не распишете конкретнее формы векторов? Что-то у меня не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ограничения на псевдообратные матрицы
Сообщение21.11.2015, 15:25 


20/11/15
10
С описанием векторов-матриц получилось криво, да :(

iifat в сообщении #1075446 писал(а):
Насколько я помню, псевдообратная матрица определяется соотношением $AA^\dagger A=A$. Подставляя ваше $B$ в уравнение, получаем $ABC=AA^\dagger D C^\dagger C$. Как-то мне не очевидно, что это есть $D$.


По определению: $A^{\dagger}=(A^{T}A)^{-1}A^{T}$, подставляя, получим: $A^{\dagger}A=E_{n}$, это для левой обратной, с $C$ аналогично для правой.

iifat в сообщении #1075446 писал(а):

При заданных $A,C,D$ получаем систему линейных уравнений на компоненты $B$. Я б как-нить построил и попытался решить десяток примеров (разумеется, не руками и калькулятором).

-- 21.11.2015, 20:42 --

Не распишете конкретнее формы векторов? Что-то у меня не получается.


Система уравнений-то получается, но все опять же зависит от вида векторов. Вот и хочется узнать, когда получится правильный вариант, а когда -- нет.

Формы вектор для примера: $A=\begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2}\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} b \end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix} c_{1} & c_{2} \end{bmatrix}$. Их произведение: $D=ABC=\begin{bmatrix} d_{1} & d_{2} \\ d_{3} & d_{4} \end{bmatrix}$

Если взять $a_{1}=1, a_{2}=2, c_{1}=3, c_{2}=1, b=2$, но пока неизвестное, то $D=\begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 12 & 4 \end{bmatrix}$, находя $A^{\dagger}DC^{\dagger}$ получается исходное $b=2$. Подставляя в $ABC$ получается исходное $D$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ограничения на псевдообратные матрицы
Сообщение21.11.2015, 16:39 
Заслуженный участник


14/10/14
991
Texture в сообщении #1075462 писал(а):
С описанием векторов-матриц получилось криво, да :(
Я так и не понял, кто у вас там вектор, а кто кто. $A$ - столбец, $B$ - чиселка, $C$ - строка? Если возможны ещё варианты, то скажите, какие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ограничения на псевдообратные матрицы
Сообщение21.11.2015, 16:47 


20/11/15
10
Slav-27 в сообщении #1075474 писал(а):
Texture в сообщении #1075462 писал(а):
С описанием векторов-матриц получилось криво, да :(
Я так и не понял, кто у вас там вектор, а кто кто. $A$ - столбец, $B$ - чиселка, $C$ - строка? Если возможны ещё варианты, то скажите, какие.


На самом деле интересует больше конкретный вариант: $A$ -- столбец $R^{n}$, $B$ -- строка $R^{m}$ , $C$ -- матрица $R^{m\times n}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ограничения на псевдообратные матрицы
Сообщение21.11.2015, 17:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Texture в сообщении #1075475 писал(а):
На самом деле интересует больше конкретный вариант: $A$ -- столбец $R^{n}$, $B$ -- строка $R^{m}$ , $C$ -- матрица $R^{m\times n}$.
Не сходится. Если $A$ - столбец и $C$ - строка, то $B$ должна быть размера $1\times 1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ограничения на псевдообратные матрицы
Сообщение21.11.2015, 17:33 


20/11/15
10
Xaositect в сообщении #1075480 писал(а):
Texture в сообщении #1075475 писал(а):
На самом деле интересует больше конкретный вариант: $A$ -- столбец $R^{n}$, $B$ -- строка $R^{m}$ , $C$ -- матрица $R^{m\times n}$.
Не сходится. Если $A$ - столбец и $C$ - строка, то $B$ должна быть размера $1\times 1$


Да, если $C$ -- строка, но интересует более общий случай, где, как я указал, $C$ -- матрица $R^{m\times n}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ограничения на псевдообратные матрицы
Сообщение21.11.2015, 17:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Ой, я перепутал $B$ и $C$.
Если $A$ - столбец, $B$ - строка и $C$ - матрица, то итоговая матрица $D = ABC$ будет ранга 1.
Матрица ранга 1 раскладывается в произведение столбца на строку $D = EF$ однозначно с точностью до преобразования $(E, F) \mapsto (k E, k^{-1} F)$. Одно такое разложение у нас есть - $D = A \cdot (BC)$

То есть, у нас все столбцы матрицы $D$ будут пропорциональны $A$, отсюда можно найти строку $BC$ и решить линейное уравнение для того, чтобы найти $B$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ограничения на псевдообратные матрицы
Сообщение21.11.2015, 18:19 


20/11/15
10
Xaositect в сообщении #1075494 писал(а):
Ой, я перепутал $B$ и $C$.
Если $A$ - столбец, $B$ - строка и $C$ - матрица, то итоговая матрица $D = ABC$ будет ранга 1.
Матрица ранга 1 раскладывается в произведение столбца на строку $D = EF$ однозначно с точностью до преобразования $(E, F) \mapsto (k E, k^{-1} F)$. Одно такое разложение у нас есть - $D = A \cdot (BC)$

То есть, у нас все столбцы матрицы $D$ будут пропорциональны $A$, отсюда можно найти строку $BC$ и решить линейное уравнение для того, чтобы найти $B$.


Столбец на строку же даст матрицу, строка на столбец -- скаляр (при равенстве их размеров).

Но Вы заставили меня сомневаться, что я на всякий случай решил проверить :) Более наглядный пример:
$\begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 4 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & 4 & 5 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 0 & -1 & 2 & 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 17 & 22 & 35 & 13 \\ 34 & 44 & 70 & 26 \\ 51 & 66 & 105 & 39 \\ 68 & 88 & 140 & 52 \end{bmatrix}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ограничения на псевдообратные матрицы
Сообщение21.11.2015, 18:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Texture в сообщении #1075500 писал(а):
Столбец на строку же даст матрицу
Ну да, матрицу ранга 1.

Texture в сообщении #1075500 писал(а):
Но Вы заставили меня сомневаться, что я на всякий случай решил проверить :) Более наглядный пример:
$\begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 4 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & 4 & 5 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 0 & -1 & 2 & 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 17 & 22 & 35 & 13 \\ 34 & 44 & 70 & 26 \\ 51 & 66 & 105 & 39 \\ 68 & 88 & 140 & 52 \end{bmatrix}$

Вот в этом примере все столбцы результата пропорциональны $\begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}$. Отсюда мы можем сразу найти $BC = \begin{bmatrix} 17 & 22 & 35 & 13 \end{bmatrix}$, и это линейное уравнение относительно $B$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ограничения на псевдообратные матрицы
Сообщение21.11.2015, 18:47 


20/11/15
10
Xaositect в сообщении #1075502 писал(а):
Texture в сообщении #1075500 писал(а):
Столбец на строку же даст матрицу
Ну да, матрицу ранга 1.

Texture в сообщении #1075500 писал(а):
Но Вы заставили меня сомневаться, что я на всякий случай решил проверить :) Более наглядный пример:
$\begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 4 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & 4 & 5 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 0 & -1 & 2 & 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 17 & 22 & 35 & 13 \\ 34 & 44 & 70 & 26 \\ 51 & 66 & 105 & 39 \\ 68 & 88 & 140 & 52 \end{bmatrix}$

Вот в этом примере все столбцы результата пропорциональны $\begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}$. Отсюда мы можем сразу найти $BC = \begin{bmatrix} 17 & 22 & 35 & 13 \end{bmatrix}$, и это линейное уравнение относительно $B$.


Да, прошу прощения, сначала не совсем понял (точнее не вчитался), что Вы про ранг.

Хм, тогда у меня есть пара уточнений:
1) Строку из итоговой матрицы мы должны же взять ручками (никаким действием не вытащить?).
2) Брать строку и делить на соответствующее число из $A$?
3) После получения $BC=\begin{bmatrix} 17 & 22 & 35 & 13 \end{bmatrix}$ все равно использовать псевдообратную матрицу для $C$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ограничения на псевдообратные матрицы
Сообщение22.11.2015, 00:51 


20/11/15
10
Texture в сообщении #1075504 писал(а):

1) Строку из итоговой матрицы мы должны же взять ручками (никаким действием не вытащить?).
2) Брать строку и делить на соответствующее число из $A$?
3) После получения $BC=\begin{bmatrix} 17 & 22 & 35 & 13 \end{bmatrix}$ все равно использовать псевдообратную матрицу для $C$?


С первыми двумя пунктами разобрался: домножаем $D$ слева на $\begin{bmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \end{bmatrix}$ и потом делим на $a_{1}$, если оно отлично от 1. Остается вопрос с последним. Для решения полученного уравнения опять придется использовать псевдообратную матрицу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ограничения на псевдообратные матрицы
Сообщение22.11.2015, 01:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Texture в сообщении #1075577 писал(а):
С первыми двумя пунктами разобрался: домножаем $D$ слева на $\begin{bmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \end{bmatrix}$ и потом делим на $a_{1}$, если оно отлично от 1.
Если точнее, выбираем ненулевое $a_i$ и делим $i$-ю строку на него.

Texture в сообщении #1075577 писал(а):
Для решения полученного уравнения опять придется использовать псевдообратную матрицу?
Ну это как хотите. Можно псевдообратную, можно просто методом Гаусса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ограничения на псевдообратные матрицы
Сообщение22.11.2015, 10:26 


20/11/15
10
Xaositect в сообщении #1075581 писал(а):
Если точнее, выбираем ненулевое $a_i$ и делим $i$-ю строку на него.

Да, именно это я имел в виду во втором уточнении, с этим понятно :)

Xaositect в сообщении #1075581 писал(а):
Ну это как хотите. Можно псевдообратную, можно просто методом Гаусса.


Мне, к сожалению, надо делать это конкретными математическими действиями, не методами, поэтому остается тогда псевдообратная.

Но мне все-таки больше требуется узнать ограничения, когда возможно решение такой системы. Пусть $D=\begin{bmatrix} 2 & 9 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 3 & 9 \end{bmatrix}$, $A=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}$, $C=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 9 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 & 0 \end{bmatrix}$, откуда получаем, что $BC=\begin{bmatrix} 0 & 2 & 3 & 9 \end{bmatrix}$, откуда с помощью псевдообращения в матлабе получаю
$B=\begin{bmatrix} 1.6206 & 0.6364 & -2.2213 \end{bmatrix}$. Теперь проверяем, подставляя в $ABC=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -0.913 & 2.304 & 3.913 & 8.391 \end{bmatrix}$, что, очевидно, не совпадает с заданным $D$. Если я правильно понимаю, то должно же быть какое-то условие решения этого уравнения в духе того, что решение есть тогда и только тогда, когда $\det(D)=0$ (для обеспечения линейной-зависимости) и что-то должно быть с рангами $A, C$.. Прав ли я?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ограничения на псевдообратные матрицы
Сообщение22.11.2015, 11:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Texture в сообщении #1075620 писал(а):
Мне, к сожалению, надо делать это конкретными математическими действиями, не методами, поэтому остается тогда псевдообратная.
Откуда такие неестественные ограничения?

$D$ должна быть ранга $1$. Столбцы $D$ должны быть пропорциональны $A$, т.е. матрица $[D|A]$ тоже должна быть ранга 1. Система $BC = R$ полученная в процессе, должна иметь решение, т.е. удовлетворять условию теоремы Кронекера-Капелли.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group