Сколько у функции значений?

[Ktina]

(Знакомых с данной задачей попрошу чуть-чуть подождать. Мне интересен именно свежий, "незамыленный" взгляд)

Заданная на всей вещественной прямой функция $f$ такова, что для любого $x$ верны равенства

$$ \begin{cases} f(2+x)=f(2-x) \\ f(0)=0 \\ f(7+x)=f(7-x) \end{cases} $$

а) Может ли функция $f$ принимать ровно два значения? А бесконечно много значений?
б) Найдите все возможные значения наибольшего корня уравнения $f(x)=0$ на отрезке $[0; 1000]$

[12d3]

Да. Да. 1000.

[Dan B-Yallay]

a) да. да
b) не понял вопроса

[venco]

Dan B-Yallay в сообщении #1075331 писал(а):

b) не понял вопроса

Доказать, что $f(1000)=0$.

[Ktina]

Мне показалось, что авторское решение не очень верно, потому и захотелось обсудить.

Вот моё:

а1) Функция, принимающая значение 0 в целых точках и 1 в остальных.
a2) Функция, выражающая расстояние до ближайшего целого числа. Например, $f(1,3)=0,3;\quad f(2,8)=0,2$

б)

$$f(4)=f(0)=0;\quad f(10)=f(4)=0;\quad f(x+10)=f(-(x-4))=f(x); \quad f(1000)=0$$

А вот авторское:



Где у автора пример функции, принимающей ровно два значения?
И что у него за функция с бесконечным множеством значений? Непонятная какая-то...

[venco]

Там же сказано, что на отрезке $[2,7]$ можно определить произвольным образом, с единственным условием $f(4)=0$.

[Ktina]

venco
Я на рисунок ориентируюсь, вот на этот:
Там какая-то неправильная произвольность. Или же я не понимаю рисунок.

[12d3]

Или очень хреново иллюстрировать это дело плохим рисунком, если можно написать одну формулу, из которой все понятно.

[arseniiv]

Ktina в сообщении #1075349 писал(а):

Там какая-то неправильная произвольность. Или же я не понимаю рисунок.

А рисунок вида …pqpqpqp…, где p означает какой-то произвольный кусок графика с нулём где надо, а q — его отражение относительно вертикальной оси, будет более приятным? В авторском ответе загогулинки так и нужно понимать. В конце концов, математический текст имеет приоритет перед иллюстрацией к нему.

[Ktina]

arseniiv в сообщении #1075365 писал(а):

... В конце концов, математический текст имеет приоритет перед иллюстрацией к нему.

Лады, впредь буду иметь это в виду.