Пары рациональных чисел

[scwec]

1. Докажите, что для любой пары рациональных чисел $m,n$ не равных нулю, найдется пара рациональных чисел $x,y$ такая,
что $x^4-y^2=m^4+n^4$
(на самом деле пар $x,y$ бесконечное число).

2.Докажите, что не для любой пары рациональных чисел $m,n$ не равных нулю, найдется пара рациональных чисел $x,y$ такая,
что $y^2-x^4=m^4+n^4$.
Найдите "минимальную" пару натуральных $m,n$, т.е. $y^2-x^4=m^4+n^4$ и $m^4+n^4$ принимает наименьшее возможное значение.

[scwec]

Подсказка: перейти к переменным $X,Y$ таким, что $x=\dfrac{Y}{2X},y=\dfrac{-Y^2+8X^3}{4X^2}$.

[scwec]

Вот 3 ответа по п.1.
a) $x=\dfrac{2n^4+m^4}{2{m^2}n}, y=\dfrac{m^8-4m^4{n^4}-4n^8}{4m^4{n^2}}$;
b) то же, что и a), меняются местами $m,n$;
c) симметричный: $x=\dfrac{m^2+mn+n^2}{m+n}, y=\dfrac{mn(2m^2+3mn+2n^2)}{(m+n)^2}$.
Продолжаются бесконечно.